Use a técnica de integração por partes para resolver as integrais abaixo. Derive para verificar a solução.
integral e^2 x sen 4 x d x

Passo 1

Estamos lidando com a integral integral e^2xsin(4x),dx, cujo conteúdo é integração por partes aplicada duas vezes até obter uma equação em I. Vamos usar a fórmula integral u,dv = u v - integral v,du.

Passo 2

Denotamos I = integral e^2xsin(4x),dx. Na primeira integração por partes, escolhemos
u = e^2x e dv = sin(4x),dx, logo
du = 2e^2x,dx e v = -tfrac14cos(4x).
Substituindo na fórmula, obtemos
I = -tfrac14 e^2xcos(4x) + tfrac12 integral e^2xcos(4x),dx

Passo 3

Chamamos J = integral e^2xcos(4x),dx e aplicamos integração por partes em J com
u = e^2x, dv = cos(4x),dx, de onde
du = 2e^2x,dx, v = tfrac14sin(4x). Assim,
J = tfrac14 e^2xsin(4x) - tfrac12 integral e^2xsin(4x),dx = tfrac14 e^2xsin(4x) - tfrac12 I

Passo 4

Voltando para I, substituímos J:
I = -tfrac14 e^2xcos(4x) + tfrac12l(tfrac14 e^2xsin(4x) - tfrac12 Ir) = -tfrac14 e^2xcos(4x) + tfrac18 e^2xsin(4x) - tfrac14 I
Somando I + tfrac14 I = tfrac54 I, temos
tfrac54 I = tfrac18 e^2xsin(4x) - tfrac14 e^2xcos(4x)

Passo 5

Isolando I e simplificando, vem
I = e^2xl(tfrac110sin(4x) - tfrac15cos(4x)r) + C

Passo 6

Para conferir, derivamos o resultado:
ddxl[e^2x(tfrac110sin(4x)-tfrac15cos(4x))r] = e^2xsin(4x),
que coincide com o integrando, confirmando a solução.

Resposta

e^2xl(tfrac110sin(4x)-tfrac15cos(4x)r) + C

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