Suponha que f: R^n R satisfaça |f(x)| <=|x|^2. Mostre que f é diferenciável na origem.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma função f: ℝⁿ → ℝ tal que $ |f(x)| \le |x|^2 $ para todo x, e queremos mostrar que f é diferenciável na origem. Vamos usar a definição de diferenciabilidade em 0 e provar que o resto cresce mais devagar que |f(x)| <= |x|^2 .

Passo 2

Primeiro, avaliamos f(0). Pela desigualdade dada, temos $ |f(0)| \le |0|^2 = 0 $, logo $ f(0)=0 $.
Sugerimos como candidato ao diferencial de f em 0 o mapa linear nulo L: ℝⁿ → ℝ definido por $ L(h)=0 $ para todo |f(0)| <= |0|^2 = 0 . Isso equivale a dizer que supomos $ Df(0)=0 $.

Passo 3

Para verificar a definição de diferenciabilidade, definimos o resto R(h)=f(h)-f(0)-L(h)=f(h). Da hipótese, $ |R(h)| = |f(h)| \le |h|^2 $.
Dividindo pelo tamanho de h, obtemos $ \frac{|R(h)|}{|h|} \le \frac{|h|^2}{|h|} = |h| $. Como |R(h)| = |f(h)| <= |h|^2 quando |R(h)||h| <= |h|^2|h| = |h| , segue que |h| to 0. Isso satisfaz a definição de diferenciabilidade em 0.

Resposta

f é diferenciável na origem e o diferencial é o mapa linear zero, isto é, Df(0)=0.

Exercícios relacionados