Suponha que
satisfaça
. Mostre que
é diferenciável na origem.
Passo 1
O enunciado diz que temos uma função f: ℝⁿ → ℝ tal que $ |f(x)| \le |x|^2 $ para todo x, e queremos mostrar que f é diferenciável na origem. Vamos usar a definição de diferenciabilidade em 0 e provar que o resto cresce mais devagar que
.
Passo 2
Primeiro, avaliamos f(0). Pela desigualdade dada, temos $ |f(0)| \le |0|^2 = 0 $, logo $ f(0)=0 $.
Sugerimos como candidato ao diferencial de f em 0 o mapa linear nulo L: ℝⁿ → ℝ definido por $ L(h)=0 $ para todo . Isso equivale a dizer que supomos $ Df(0)=0 $.
Sugerimos como candidato ao diferencial de f em 0 o mapa linear nulo L: ℝⁿ → ℝ definido por $ L(h)=0 $ para todo
Passo 3
Para verificar a definição de diferenciabilidade, definimos o resto
. Da hipótese, $ |R(h)| = |f(h)| \le |h|^2 $.
Dividindo pelo tamanho de h, obtemos $ \frac{|R(h)|}{|h|} \le \frac{|h|^2}{|h|} = |h| $. Como quando
, segue que
. Isso satisfaz a definição de diferenciabilidade em 0.
Dividindo pelo tamanho de h, obtemos $ \frac{|R(h)|}{|h|} \le \frac{|h|^2}{|h|} = |h| $. Como
Resposta
f é diferenciável na origem e o diferencial é o mapa linear zero, isto é,
.