Use a técnica de integração por partes para resolver as integrais abaixo. Derive para verificar a solução.
integral sen^2 theta d theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral sin^2theta,dtheta usando integração por partes. Vamos precisar também usar a identidade trigonométrica cos^2theta=1-sin^2theta para concluir.

Passo 2

Seja I=integral sin^2theta,dtheta. Aplicando integração por partes escolhemos
u=sintheta, dv=sintheta,dtheta
Então
du=costheta,dtheta, v=-costheta

Passo 3

Pela fórmula integral u,dv=uv-integral v,du, temos
I=integral sintheta,sintheta,dtheta = -sinthetacostheta - integral(-costheta),costheta,dtheta
Ou seja
I=-sinthetacostheta + integral cos^2theta,dtheta

Passo 4

Usando a identidade cos^2theta=1-sin^2theta, substituímos em integralcos^2theta,dtheta:
integral cos^2theta,dtheta = integral(1-sin^2theta),dtheta = theta - I
Assim ficamos com
I=-sinthetacostheta + (theta - I)

Passo 5

Reunindo termos em I:
I = -sinthetacostheta + theta - I
Somando I dos dois lados:
2I = theta - sinthetacostheta
Logo
I=theta2-sinthetacostheta2+C

Passo 6

Para verificar, derivamos
ddthetal(tfractheta2-tfracsinthetacostheta2r) = tfrac12 - tfrac12,ddtheta(sinthetacostheta)
Como ddtheta(sinthetacostheta)=cos2theta, isso resulta em
tfrac12 - tfrac12cos2theta = sin^2theta
confirmando a solução.

Passo 7

Concluímos a integral conforme abaixo.

Resposta

theta2-sinthetacostheta2+C

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