Encontre a série de Taylor de cada função nos pontos dados:
raizx, x=4

Passo 1

O enunciado nos pede para desenvolver a série de Taylor da função f(x)=raizx em torno de x0=4. O conteúdo principal é o conceito de série de Taylor e vamos precisar da fórmula geral de expansão em torno de um ponto e da expressão da n-ésima derivada de x^1/2.

Passo 2

A série de Taylor de uma função f em torno de a é dada por:
f(x)=sumn=0^inftyf^(n)(a)n!(x-a)^n

Passo 3

Como f(x)=raizx=x^1/2, aplicamos a regra da derivada de potência generalizada. A n-ésima derivada é
f^(n)(x)=tfrac12l(tfrac12-1r)l(tfrac12-2r)cdotsl(tfrac12-n+1r)x^tfrac12-n

Passo 4

Podemos reconhecer o produto tfrac12(tfrac12-1)cdots(tfrac12-n+1) como n! vezes o coeficiente binomial binom1/2n. Logo,
f^(n)(x)=n!,binom1/2n,x^tfrac12-n
No ponto x=4 temos
f^(n)(4)n!=binom1/2n,4^tfrac12-n

Passo 5

Substituindo na fórmula da série de Taylor obtemos
raizx=sumn=0^inftybinom1/2n,4^tfrac12-n(x-4)^n

Passo 6

Para simplificar, note que 4^1/2=2 e 4^-n=1/4^n. Então podemos fatorar 2 e escrever:
raizx=2sumn=0^inftybinom1/2nl(x-44r)^n

Resposta

raizx=2sumn=0^inftybinom1/2nl(x-44r)^n, válida para |x-4|<4.

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