Considere
vezes deriváveis no ponto
. Suponha que
e
, juntamente com suas derivadas até a ordem
(inclusive) se anulam no ponto
, mas que
e
não são ambas nulas. Além disso, suponha que
para
suficientemente próximo de
. Utilizando a Fórmula de Taylor Infinitesimal, mostre que:
Passo 1
O enunciado afirma que
e
são
vezes deriváveis em
, que
para todo
, e que
para
perto de
.
Vamos usar a fórmula de Taylor infinitesimal de ordem em torno de
.
Vamos usar a fórmula de Taylor infinitesimal de ordem
Passo 2
Pela fórmula de Taylor com resto infinitesimal temos
e como todos os
para
, resulta
Análogo para
:
Passo 3
Formamos a razão:
Como
quando
, obtemos