Considere f, g: I \longrightarrow \mathbb{R} n vezes deriváveis no ponto x=a \in I. Suponha que f e g, juntamente com suas derivadas até a ordem n-1 (inclusive) se anulam no ponto a, mas que f^{(n)}(a) e g^{(n)}(a) não são ambas nulas. Além disso, suponha que g(x) \neq 0 para x \neq a suficientemente próximo de a. Utilizando a Fórmula de Taylor Infinitesimal, mostre que:
\lim _{x \longrightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f^{(n)}(a)}{g^{(n)}(a)}, \quad \text { se } g^{(n)}(a) \neq 0

Passo 1

O enunciado afirma que f e g são n vezes deriváveis em a, que
\,f^{(k)}(a)=g^{(k)}(a)=0 para todo k=0,1,\dots,n-1, e que g(x)\neq0 para x\neq a perto de a.
Vamos usar a fórmula de Taylor infinitesimal de ordem n em torno de a.

Passo 2

Pela fórmula de Taylor com resto infinitesimal temos
f(x) =\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^{k}+o\bigl((x-a)^n\bigr)
e como todos os f^{(k)}(a)=0 para k<n, resulta
f(x)=\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+o\bigl((x-a)^n\bigr).
Análogo para g:
g(x)=\frac{g^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+o\bigl((x-a)^n\bigr).

Passo 3

Formamos a razão:
\frac{f(x)}{g(x)} =\frac{\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+o\bigl((x-a)^n\bigr)} {\frac{g^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+o\bigl((x-a)^n\bigr)} =\frac{\frac{f^{(n)}(a)}{n!}+o(1)}{\frac{g^{(n)}(a)}{n!}+o(1)}.
Como o(1)\to0 quando x\to a, obtemos
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} =\frac{\frac{f^{(n)}(a)}{n!}}{\frac{g^{(n)}(a)}{n!}} =\frac{f^{(n)}(a)}{g^{(n)}(a)}.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f^{(n)}(a)}{g^{(n)}(a)} (se g^{(n)}(a)\neq0).

Exercícios relacionados