Determine dois números reais cuja soma é 10 e cujo produto seja o máximo possível.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar dois números reais x e y tais que
x + y = 10
e cujo produto
P = x y
seja o maior possível. O conteúdo aqui é otimização de uma função quadrática com restrição, e vamos precisar expressar uma variável em função da outra e então maximizar uma parábola.

Passo 2

Usando a restrição x + y = 10, podemos escrever
y = 10 - x.
Substituindo em P = x y, definimos uma função de uma só variável:
P(x) = x\,(10 - x).

Passo 3

Desenvolvendo a expressão, obtemos
P(x) = 10x - x^2.
Isso é uma função quadrática do tipo
P(x) = -x^2 + 10x,
cujo coeficiente de x^2 é negativo, logo a parábola é côncava para baixo e possui um valor máximo.

Passo 4

Para encontrar o vértice da parábola, usamos
x_{\text{vértice}} = -\frac{b}{2a},é
onde a = -1 e b = 10. Assim,
x_{\text{vértice}} = -\frac{10}{2 \cdot (-1)} = 5.é

Passo 5

Substituindo x = 5 em y = 10 - x, temos
y = 10 - 5 = 5.
O produto máximo é
P(5) = 5 \cdot 5 = 25.

Resposta

Os dois números são 5 e 5, e o produto máximo é 25.

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