Determine dois números reais cuja soma é 10 e cujo produto seja o máximo possível.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar dois números reais
e
tais que
e cujo produto
seja o maior possível. O conteúdo aqui é otimização de uma função quadrática com restrição, e vamos precisar expressar uma variável em função da outra e então maximizar uma parábola.
Passo 2
Usando a restrição
, podemos escrever
Substituindo em
, definimos uma função de uma só variável:
Passo 3
Desenvolvendo a expressão, obtemos
Isso é uma função quadrática do tipo
cujo coeficiente de
é negativo, logo a parábola é côncava para baixo e possui um valor máximo.
Passo 4
Para encontrar o vértice da parábola, usamos
onde
e
. Assim,
Passo 5
Substituindo
em
, temos
O produto máximo é
Resposta
Os dois números são
e
, e o produto máximo é
.