Determine o retângulo de maior área que pode ser inscrito em um quadrante de círculo de raio
, de modo que dois dos lados do retângulo estejam sobre os lados retos do quadrante. Este retângulo coincide com o retângulo de maior perímetro nas mesmas condições? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede o retângulo de maior área que cabe no primeiro quadrante de um círculo de raio
, com dois lados apoiados nos eixos coordenados e o vértice oposto na circunferência
. Vamos usar otimização com restrição para encontrar as dimensões que maximizam a área e depois verificar o mesmo para o perímetro.
Passo 2
Sejam
e
os comprimentos dos lados do retângulo sobre os eixos
e
. Então a área é
e a restrição é
Podemos expressar
e obter uma função unidimensional
com
.
Passo 3
Para maximizar
, calculamos a derivada e igualamos a zero:
Daí
implica
E, pela simetria na equação da circunferência,
também vale
.
Passo 4
Logo o retângulo de maior área é um quadrado de lado
. A área máxima vale
Passo 5
Agora, para o perímetro
sob a mesma restrição
, basta notar por desigualdade de Cauchy–Schwarz que
com igualdade quando
. Assim o perímetro máximo também ocorre em
.
Resposta
O retângulo de maior área é o quadrado de lados
. Sim, esse mesmo quadrado também é o retângulo de maior perímetro.