Determine o retângulo de maior área que pode ser inscrito em um quadrante de círculo de raio R, de modo que dois dos lados do retângulo estejam sobre os lados retos do quadrante. Este retângulo coincide com o retângulo de maior perímetro nas mesmas condições? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede o retângulo de maior área que cabe no primeiro quadrante de um círculo de raio R, com dois lados apoiados nos eixos coordenados e o vértice oposto na circunferência x^2+y^2=R^2. Vamos usar otimização com restrição para encontrar as dimensões que maximizam a área e depois verificar o mesmo para o perímetro.

Passo 2

Sejam x e y os comprimentos dos lados do retângulo sobre os eixos x e y. Então a área é
A(x,y)=x\,y
e a restrição é
x^2+y^2=R^2.
Podemos expressar y=\sqrt{R^2-x^2} e obter uma função unidimensional
A(x)=x\sqrt{R^2-x^2},
com 0\le x\le R.

Passo 3

Para maximizar A(x), calculamos a derivada e igualamos a zero:
A'(x) =\sqrt{R^2-x^2} +\;x\cdot\frac{-x}{\sqrt{R^2-x^2}} =\frac{R^2-x^2 - x^2}{\sqrt{R^2-x^2}} =\frac{R^2-2x^2}{\sqrt{R^2-x^2}}.
Daí A'(x)=0 implica
R^2-2x^2=0 \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{R}{\sqrt2}.
E, pela simetria na equação da circunferência, y também vale \tfrac{R}{\sqrt2}.

Passo 4

Logo o retângulo de maior área é um quadrado de lado \tfrac{R}{\sqrt2}. A área máxima vale
A_{\max} =\frac{R}{\sqrt2}\cdot\frac{R}{\sqrt2} =\frac{R^2}{2}.

Passo 5

Agora, para o perímetro P=2(x+y) sob a mesma restrição x^2+y^2=R^2, basta notar por desigualdade de Cauchy–Schwarz que
x+y\le \sqrt{2(x^2+y^2)}=\sqrt2\,R,
com igualdade quando x=y. Assim o perímetro máximo também ocorre em x=y=R/\sqrt2.

Resposta

O retângulo de maior área é o quadrado de lados \tfrac{R}{\sqrt2}. Sim, esse mesmo quadrado também é o retângulo de maior perímetro.

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