{ }^{a} Questão. (\mathbf{2 , 0} \mathbf{~ p t s}) Encontre o valor de b>0 que satisfaça a equação 2=\int_{0}^{b} x e^{2 x^{2}} d x.
Resolver a integral usando a substituição u=2 x^{2}, dessa forma obtemos a equação em b da forma 2=\frac{1}{4}\left(e^{2 b^{2}}-1\right), cuja solução positiva é b=\sqrt{\ln 3}.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar b>0 tal que
2 = \int_{0}^{b} x\,e^{2x^{2}}\;dx.
O conteúdo principal aqui é o cálculo de uma integral por substituição e, em seguida, a resolução de uma equação exponencial em b.

Passo 2

Vamos avaliar a integral usando a substituição
u = 2x^{2}.
Dessa forma,
du = 4x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{du}{4}.
Quando x=0, então u=0, e quando x=b, u=2b^{2}. Substituindo na integral, obtemos
\int_{0}^{b} x\,e^{2x^{2}}\,dx = \int_{0}^{2b^{2}} e^{u}\,\frac{du}{4} = \frac{1}{4}\Bigl[e^{u}\Bigr]_{0}^{2b^{2}} = \frac{1}{4}\bigl(e^{2b^{2}} - 1\bigr).

Passo 3

Substituindo esse resultado na equação dada, temos
2 = \frac{1}{4}\bigl(e^{2b^{2}} - 1\bigr).
Multiplicando ambos os lados por 4, resulta
8 = e^{2b^{2}} - 1 \quad\Longrightarrow\quad e^{2b^{2}} = 9.

Passo 4

Para isolar b, aplicamos logaritmo natural em ambos os lados:
2b^{2} = \ln 9 \quad\Longrightarrow\quad b^{2} = \frac{\ln 9}{2} = \frac{2\ln 3}{2} = \ln 3.
Como queremos a solução positiva, concluímos
b = \sqrt{\ln 3}.

Resposta

\displaystyle b = \sqrt{\ln 3}

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