Considere que f_{i}(x) são funções densidade de probabilidade para i=1,2, \ldots, n. Provar que
\sum_{i=1}^{n} \pi_{i} f_{i}(x), \quad \text { com } \quad \sum_{i=1}^{n} \pi_{i}=1 \quad \text { e } \quad \pi_{i} \geq 0
é uma função densidade de probabilidade.

Passo 1

O enunciado diz que f_i(x) são densidades de probabilidade para i=1,2,\dots,n, isto é, para cada i vale
f_i(x)\ge0 \quad\text{e}\quad \int_{-\infty}^{\infty}f_i(x)\,dx=1.
Dados os pesos \pi_i\ge0 com \sum_{i=1}^n\pi_i=1, definimos
g(x)=\sum_{i=1}^n\pi_i f_i(x).
Queremos mostrar que g(x) também é uma densidade de probabilidade.

Passo 2

Verificamos a não negatividade de g. Como cada f_i(x)\ge0 e cada \pi_i\ge0, o produto \pi_i f_i(x)\ge0. Somando termos não negativos, temos
g(x)=\sum_{i=1}^n\pi_i f_i(x)\ge0 \quad\forall\,x.

Passo 3

Verificamos a integral de g. Pela linearidade da integral,
\int_{-\infty}^{\infty}g(x)\,dx =\int_{-\infty}^{\infty}\sum_{i=1}^n\pi_i f_i(x)\,dx =\sum_{i=1}^n\pi_i\int_{-\infty}^{\infty}f_i(x)\,dx.
Mas \int_{-\infty}^{\infty}f_i(x)\,dx=1 para cada i, logo
\int_{-\infty}^{\infty}g(x)\,dx =\sum_{i=1}^n\pi_i\cdot1 =\sum_{i=1}^n\pi_i =1.

Resposta

Mostramos que g(x)=\sum_{i=1}^n\pi_i f_i(x) é não negativa e integra 1, portanto é uma função densidade de probabilidade.

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