Considere que
são funções densidade de probabilidade para
. Provar que
é uma função densidade de probabilidade.
Passo 1
O enunciado diz que
são densidades de probabilidade para
, isto é, para cada
vale
Dados os pesos
com
, definimos
Queremos mostrar que
também é uma densidade de probabilidade.
Passo 2
Verificamos a não negatividade de
. Como cada
e cada
, o produto
. Somando termos não negativos, temos
Passo 3
Verificamos a integral de
. Pela linearidade da integral,
Mas
para cada
, logo
Resposta
Mostramos que
é não negativa e integra 1, portanto é uma função densidade de probabilidade.