Seja X\) uma variável aleatória com função de distribuição acumulada dada por: \[F(x)= \begin{cases}0, & x<0 \\\ a x^{2}, & 0 \leq x \leq 6 \\\\ 1, & x>6\end{cases}
(a) Determine a função densidade de probabilidade de X\]; (b) Encontre o valor de \(a tal que f(x) seja uma legitima função densidade de probabilidade;
(c) Represente graficamente f(x) e F(x);
(d) Calcular \mathbb{P}(X<5), \mathbb{P}(X>2) e \mathbb{P}(2<X \leq 5).

Passo 1

O enunciado dá a função de distribuição acumulada
F(x)= \begin{cases} 0, & x<0,\\\ a\,x^{2}, & 0\le x\le6,\\\\ 1, & x>6, \end{cases}
e pede:
(a) a densidade f(x) obtida pela derivada de F(x);
(b) o valor de a que normaliza f;
(c) o esboço dos gráficos de f e de F;
(d) os valores de \mathbb{P}(X<5), \mathbb{P}(X>2) e \mathbb{P}(2<X\le5).
Conteúdo: definição de densidade via derivada da cdf, condição de normalização e cálculos diretos de probabilidades.

Passo 2

Para 0<x<6, temos
f(x)=\frac{d}{dx}F(x)=\frac{d}{dx}\bigl(a\,x^{2}\bigr)=2a\,x.
Fora desse intervalo a cdf é constante, logo
f(x)= \begin{cases} 2a\,x, & 0<x<6,\\\\ 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}á

Passo 3

Impondo a normalização de f:
\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx =\int_{0}^{6}2a\,x\,dx =2a\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{6} = a\cdot 6^{2} =36a \stackrel{!}{=}1.
Logo
a=\frac{1}{36},
e portanto
f(x)= \begin{cases} \dfrac{x}{18}, & 0<x<6,\\\\ 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}á

Passo 4

Esboço dos gráficos:
- f(x): é zero para x<0, cresce linearmente de (0,0) a (6,\tfrac{6}{18}=\tfrac{1}{3}) e depois volta a zero.
- F(x): é zero até x=0, segue a parábola F(x)=\tfrac{x^{2}}{36} para 0\le x\le6, alcançando F(6)=1, e daí permanece constante em 1.

Passo 5

Usando a cdf:
\mathbb{P}(X<5)=F(5)=\frac{5^{2}}{36}=\frac{25}{36},
\mathbb{P}(X>2)=1-F(2) =1-\frac{2^{2}}{36} =1-\frac{4}{36} =\frac{32}{36} =\frac{8}{9},
\mathbb{P}(2<X\le5)=F(5)-F(2) =\frac{25}{36}-\frac{4}{36} =\frac{21}{36} =\frac{7}{12}.

Resposta

(a) f(x)= \begin{cases} 2a\,x, & 0<x<6,\\\\ 0, & \text{caso contrário;} \end{cases}á
(b) a=\tfrac{1}{36}, logo f(x)=\tfrac{x}{18} em (0,6) e zero fora;
(c) f(x) é um “ramp” de 0 a 1/3 em [0,6], e F(x)=x^{2}/36 em [0,6], constantes antes de 0 e depois de 6;
(d) \mathbb{P}(X<5)=25/36, \mathbb{P}(X>2)=8/9, \mathbb{P}(2<X\le5)=7/12.

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