Seja X\) uma variável aleatória com função de distribuição acumulada dada por:
\[F(x)= \begin{cases}0, & x<0 \\\ a x^{2}, & 0 \leq x \leq 6 \\\\ 1, & x>6\end{cases}
(a) Determine a função densidade de probabilidade de X\];
(b) Encontre o valor de \(a tal que f(x) seja uma legitima função densidade de probabilidade;
(c) Represente graficamente f(x) e F(x);
(d) Calcular \mathbb{P}(X<5), \mathbb{P}(X>2) e \mathbb{P}(2<X \leq 5).
e pede:
(a) a densidade f(x) obtida pela derivada de F(x);
(b) o valor de a que normaliza f;
(c) o esboço dos gráficos de f e de F;
(d) os valores de \mathbb{P}(X<5), \mathbb{P}(X>2) e \mathbb{P}(2<X\le5).
Conteúdo: definição de densidade via derivada da cdf, condição de normalização e cálculos diretos de probabilidades.
- f(x): é zero para x<0, cresce linearmente de (0,0) a (6,\tfrac{6}{18}=\tfrac{1}{3}) e depois volta a zero.
- F(x): é zero até x=0, segue a parábola F(x)=\tfrac{x^{2}}{36} para 0\le x\le6, alcançando F(6)=1, e daí permanece constante em 1.
(b) a=\tfrac{1}{36}, logo f(x)=\tfrac{x}{18} em (0,6) e zero fora;
(c) f(x) é um “ramp” de 0 a 1/3 em [0,6], e F(x)=x^{2}/36 em [0,6], constantes antes de 0 e depois de 6;
(d) \mathbb{P}(X<5)=25/36, \mathbb{P}(X>2)=8/9, \mathbb{P}(2<X\le5)=7/12.