Seja X\) uma variável aleatória com função de distribuição acumulada:
\[F(x)= \begin{cases}a-2 b, & x<0 \\\ a x^{2}, & 0 \leq x<1 \\\ a+b x, & 1 \leq x<2 \\\\ 1, & x>2\end{cases}
(a) Determine a função densidade de probabilidade de X\];
(b) Encontre os possíveis valores de \(a e b tal que f(x) seja uma legitima função densidade de probabilidade.
(c) Represente graficamente f(x) e F(x).
Passo 1
O enunciado dá a função de distribuição acumulada de X\):
\[F(x)= \begin{cases} a-2b, & x<0,\\\ a x^{2}, & 0\le x<1,\\\ a + b x, & 1\le x<2,\\\\ 1, & x>2, \end{cases}
e pede:
(a) achar a densidade de probabilidade f(x)\],
(b) determinar \(a e b para que seja uma densidade válida,
(c) desenhar f(x) e F(x).
Conteúdo: relação entre função de distribuição e densidade (derivada e massas em saltos), condições de não negatividade e soma total de probabilidades iguais a 1.
Passo 2
Para obter a parte absolutamente contínua de f(x)\), diferenciamos \(F(x)\) nos trechos onde é contínua e monótona:
\[f(x)=F'(x)= \begin{cases} 0, & x<0,\\[6pt] \frac{d}{dx}\bigl(a x^2\bigr)=2a x, & 0<x<1,\\[6pt] \frac{d}{dx}\bigl(a + b x\bigr)=b, & 1<x<2,\\[6pt] 0, & x>2. \end{cases}
Nos pontos de quebra (x=0,1,2\]) há saltos em \(F, gerando massas de probabilidade
f(x) cresce linearmente de 0 até 1 quando 0<x<1, vale 1/4 em (1,2) e tem um pico discreto de massa 1/4 em x=1.
F(x) é zero até 0, cresce em forma de parábola até \tfrac12 em x=1^-, salta para \tfrac34 em x=1, segue linear até 1 em x=2 e fica constante daí em diante.