Seja X\) uma variável aleatória com função de distribuição acumulada: \[F(x)= \begin{cases}a-2 b, & x<0 \\\ a x^{2}, & 0 \leq x<1 \\\ a+b x, & 1 \leq x<2 \\\\ 1, & x>2\end{cases}
(a) Determine a função densidade de probabilidade de X\]; (b) Encontre os possíveis valores de \(a e b tal que f(x) seja uma legitima função densidade de probabilidade.
(c) Represente graficamente f(x) e F(x).

Passo 1

O enunciado dá a função de distribuição acumulada de X\): \[F(x)= \begin{cases} a-2b, & x<0,\\\ a x^{2}, & 0\le x<1,\\\ a + b x, & 1\le x<2,\\\\ 1, & x>2, \end{cases}
e pede:
(a) achar a densidade de probabilidade f(x)\], (b) determinar \(a e b para que seja uma densidade válida,
(c) desenhar f(x) e F(x).
Conteúdo: relação entre função de distribuição e densidade (derivada e massas em saltos), condições de não negatividade e soma total de probabilidades iguais a 1.

Passo 2

Para obter a parte absolutamente contínua de f(x)\), diferenciamos \(F(x)\) nos trechos onde é contínua e monótona: \[f(x)=F'(x)= \begin{cases} 0, & x<0,\\[6pt] \frac{d}{dx}\bigl(a x^2\bigr)=2a x, & 0<x<1,\\[6pt] \frac{d}{dx}\bigl(a + b x\bigr)=b, & 1<x<2,\\[6pt] 0, & x>2. \end{cases}
Nos pontos de quebra ( x=0,1,2\]) há saltos em \(F, gerando massas de probabilidade
p_0 = F(0)-F(0^-) = 0 - (a-2b) = -a+2b,
p_1 = F(1)-F(1^-) = \bigl(a+b\cdot1\bigr)-a = b,
p_2 = F(2)-F(2^-) = 1 - \bigl(a+2b\bigr) = 1 - a - 2b.]

Passo 3

Para f ser uma densidade legítima deve valer:
1. Todas as probabilidades não podem ser negativas:
2a x\ge0\;\forall x\in(0,1),\quad b\ge0,\quad -a+2b\ge0,\quad b\ge0,\quad 1-a-2b\ge0.
2. A soma das probabilidades contínua e discreta deve dar 1. Mas como F(-\infty)=a-2b e F(+\infty)=1, basta ter
F(0^-)=0\quad\Longrightarrow\quad a-2b=0,
F(2^-)=1\quad\Longrightarrow\quad a+2b=1.

Passo 4

Resolvendo o sistema
\begin{cases} a-2b=0,\\\ a+2b=1, \end{cases}
temos a=2b e 2b+2b=1\Rightarrow b=\tfrac14, logo a=2\cdot\tfrac14=\tfrac12. Verifica-se então que p_0=0, p_1=b=\tfrac14, p_2=0 e f(x)\ge0.

Passo 5

Com esses valores:
f(x)= \begin{cases} x, & 0<x<1,\\\ \tfrac14, & 1<x<2,\\\\ 0, & \text{caso contrário}, \end{cases} \quad P(X=1)=\tfrac14,á
e
F(x)= \begin{cases} 0, & x<0,\\\ \tfrac12\,x^{2}, & 0\le x<1,\\\ \tfrac12+\tfrac14\,x, & 1\le x<2,\\\\ 1, & x>2. \end{cases}
Graficamente:
  • f(x) cresce linearmente de 0 até 1 quando 0<x<1, vale 1/4 em (1,2) e tem um pico discreto de massa 1/4 em x=1.
  • F(x) é zero até 0, cresce em forma de parábola até \tfrac12 em x=1^-, salta para \tfrac34 em x=1, segue linear até 1 em x=2 e fica constante daí em diante.

Resposta

(a)
f(x)= \begin{cases} 2a x, & 0<x<1,\\\ b, & 1<x<2,\\\\ 0, & \text{caso contrário}, \end{cases} \quad P(X=0)=-a+2b,\;P(X=1)=b,\;P(X=2)=1-a-2b.á
(b) Os únicos valores que satisfazem todas as condições são
a=\tfrac12,\quad b=\tfrac14.
(c) Para \,a=\tfrac12,b=\tfrac14:
f(x)= \begin{cases} x, & 0<x<1,\\\ \tfrac14, & 1<x<2,\\\\ 0, & \text{caso contrário}, \end{cases} \quad P(X=1)=\tfrac14,á
e
F(x)= \begin{cases} 0, & x<0,\\\ \tfrac12\,x^{2}, & 0\le x<1,\\\ \tfrac12+\tfrac14\,x, & 1\le x<2,\\\\ 1, & x>2. \end{cases}

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