Considere f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} uma função definida por
f(x, y)=-y e^{-x}+\operatorname{sen}(x)
Diante disso, determine a derivada direcional da função f no ponto (0,1) e na direção do ângulo \theta=\frac{\pi}{3}.

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de f\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} dada por
f(x,y) = -y\,e^{-x} + \sin(x)
no ponto (0,1) na direção que forma ângulo \theta = \tfrac{\pi}{3} com o eixo x. Para isso vamos usar o conceito de gradiente e produto escalar.

Passo 2

Lembrando que a derivada direcional de f no ponto (x_0,y_0) na direção do vetor unitário u é
D_{u}f(x_0,y_0) = \nabla f(x_0,y_0)\cdot u,
onde
\nabla f(x,y) = \Bigl(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y),\,\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\Bigr).

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de f:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(-y\,e^{-x}\bigr) + \frac{\partial}{\partial x}\bigl(\sin x\bigr) = y\,e^{-x} + \cos x,
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(-y\,e^{-x}\bigr) = -e^{-x}.

Passo 4

Agora avaliamos o gradiente em (0,1):
\frac{\partial f}{\partial x}(0,1) = 1\cdot e^{0} + \cos 0 = 1 + 1 = 2,
\frac{\partial f}{\partial y}(0,1) = -e^{0} = -1.
Logo
\nabla f(0,1) = (2,\,-1).

Passo 5

A direção é dada pelo ângulo \theta=\tfrac{\pi}{3}. O vetor unitário correspondente é
u = \bigl(\cos\tfrac{\pi}{3},\,\sin\tfrac{\pi}{3}\bigr) = \Bigl(\tfrac12,\,\tfrac{\sqrt3}{2}\Bigr).

Passo 6

Fazemos o produto escalar:
D_{u}f(0,1) = \nabla f(0,1)\cdot u = (2,\,-1)\cdot\Bigl(\tfrac12,\,\tfrac{\sqrt3}{2}\Bigr) = 2\cdot\tfrac12 + (-1)\cdot\tfrac{\sqrt3}{2} = 1 - \tfrac{\sqrt3}{2}.

Resposta

D_{u}f(0,1) \;=\; 1 - \tfrac{\sqrt3}{2}
\text{(ou equivalentemente }\tfrac{2-\sqrt3}{2}\text{).}

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