Determinar uma representação paramétrica da reta que passa pelo ponto A(2,1,-1) na direção do vetor \vec{b}=2 i+3 j+k.

Passo 1

O enunciado pede a representação paramétrica da reta em \mathbb R^3 que passa pelo ponto A(2,1,-1) e tem direção dada pelo vetor
\vec b = 2\mathbf{i}+3\mathbf{j}+\mathbf{k}. O conteúdo envolvido é a fórmula geral da reta paramétrica em espaço tridimensional: vamos usar um parâmetro t e expressar a reta como \vec r(t)=\vec r_0+t\vec v.

Passo 2

Seja \vec r_0=(x_0,y_0,z_0) o ponto de passagem e \vec v=(v_1,v_2,v_3) o vetor diretor. Então, para todo t\in\mathbb R,
\vec r(t)=\vec r_0+t\vec v
em coordenadas se escreve
\begin{cases} x = x_0 + v_1\,t,\\\ y = y_0 + v_2\,t,\\\ z = z_0 + v_3\,t. \end{cases}

Passo 3

Aqui temos (x_0,y_0,z_0)=(2,1,-1) e (v_1,v_2,v_3)=(2,3,1). Substituindo na fórmula:
\vec r(t) = (2,1,-1) + t\,(2,3,1) = \bigl(2+2t,\;1+3t,\;-1+t\bigr).
Em forma de equações paramétricas:
x = 2 + 2t,\quad y = 1 + 3t,\quad z = -1 + t,\quad t\in\mathbb R.

Resposta

A representação paramétrica da reta é
\vec r(t) = (2,1,-1) + t\,(2,3,1),\quad t\in\mathbb R,
ou equivalentemente
x = 2 + 2t,\quad y = 1 + 3t,\quad z = -1 + t.

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