Considere f uma função real, de uma variável real, definida por
f(x)=\frac{x}{4+2 x}
Nessas condições, desenvolva f(x) em série de potências e determine o raio de convergência.

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de potências de
f(x)=\frac{x}{4+2x}
em torno de x=0 e o raio de convergência dessa série.
O conteúdo que vamos usar é a série geométrica
\frac{1}{1 - t} = \sum_{n=0}^{\infty} t^n,\quad |t|<1.

Passo 2

Reescrevemos f(x) em forma de geométrica. Primeiro fatoramos 4 no denominador:
f(x) =\frac{x}{4\bigl(1 + \tfrac{x}{2}\bigr)} =\frac{x}{4}\,\frac{1}{1 - \bigl(-\tfrac{x}{2}\bigr)}.

Passo 3

Aplicamos a expansão \frac{1}{1 - t}=\sum_{n=0}^\infty t^n com t=-\tfrac{x}{2}. Logo,
\frac{1}{1 - \bigl(-\tfrac{x}{2}\bigr)} =\sum_{n=0}^{\infty}\Bigl(-\tfrac{x}{2}\Bigr)^n =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^n}{2^n}.

Passo 4

Multiplicamos pelo fator \tfrac{x}{4}:
f(x) =\frac{x}{4}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^n}{2^n} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{n+1}}{4\cdot2^n}.
Fazendo a mudança de índice k=n+1, obtemos
f(x) =\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{\,k-1}\frac{x^k}{2^{k+1}}.

Passo 5

O critério de convergência vem de \bigl|-x/2\bigr|<1, ou seja |x|<2. Então o raio de convergência é R=2.

Resposta

f(x)=\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{\,k-1}\frac{x^k}{2^{k+1}},
com raio de convergência R=2.

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