Fazer uma representação gráfica do domínio das seguintes funções:
w=\frac{x y}{\sqrt{x^{2}}-y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para representar graficamente o domínio da função
w = \frac{x\,y}{\sqrt{x^{2}} - y^{2}}.
O objetivo é achar todos os pares (x,y)\in\mathbb{R}^2 em que a função está bem definida (ou seja, o radical existe e o denominador não se anula).

Passo 2

Verificamos primeiro a existência do radical \sqrt{x^2}. Como
x^2 \ge 0\quad\forall\,x\in\mathbb{R},
não há restrição adicional de existência: \sqrt{x^2} existe para todo x.

Passo 3

Em seguida, impomos que o denominador seja diferente de zero:
\sqrt{x^2} - y^2 \neq 0.

Passo 4

Como \sqrt{x^2} = |x|, a condição do passo anterior fica
|x| - y^2 \neq 0 \quad\Longleftrightarrow\quad y^2 \neq |x|.
A equação
y^2 = |x|
define duas parábolas no plano xy:
x = y^2 para x\ge0,
x = -\,y^2 para x\le0.
Nessas curvas o denominador se anula, de modo que elas devem ser excluídas do domínio.

Passo 5

Para desenhar o domínio, basta traçar no plano cartesiano as duas parábolas
x = y^2\quad\text{e}\quad x = -\,y^2
e riscar (remover) apenas essas curvas. Todo ponto que não pertença a nenhuma das duas parábolas faz parte do domínio.

Resposta

O domínio da função é
D = \bigl\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : y^2 \neq |x|\bigr\},
isto é, o plano inteiro com as parábolas x=y^2 e x=-y^2 excluídas.

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