Encontre as soluções gerais das equações diferenciais seguintes.
4 y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+y=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
4\,y'' + 4\,y' + y = 0.
O conteúdo aqui é a técnica de equação característica para EDOs lineares homogêneas.

Passo 2

Supondo uma solução do tipo y=e^{r x}, substituímos na equação dada. Calculamos
y' = r\,e^{r x},\quad y'' = r^2\,e^{r x},
logo ao substituir em
4\,y'' + 4\,y' + y = 0
vem
4\,r^2 e^{r x} + 4\,r e^{r x} + e^{r x} = 0.

Passo 3

Fatorando e^{r x}\neq0, obtemos a equação característica
4\,r^2 + 4\,r + 1 = 0.
O discriminante é
\Delta = 4^2 - 4\cdot4\cdot1 = 16 - 16 = 0,
logo há raiz real dupla
r = \frac{-4}{2\cdot4} = -\tfrac12.

Passo 4

Para raiz dupla r=-\tfrac12, a forma da solução geral é
y(x) = C_{1}\,e^{-x/2} + C_{2}\,x\,e^{-x/2},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x) = C_{1}\,e^{-x/2} + C_{2}\,x\,e^{-x/2}.

Exercícios relacionados