Considere f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} uma função contínua,
A=\left\{z \in \mathbb{R}^{2} ; f(z)<0\right\} \text { e } B=\left\{z \in \mathbb{R}^{2} ; f(z) \leq 0\right\} .
Levando isso em consideração, mostre que \bar{A} \subset B e A \subset \operatorname{int}(B).

Passo 1

O enunciado define uma função contínua f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} e os conjuntos
A=\{z\in\mathbb{R}^2 \mid f(z)<0\}, \quad B=\{z\in\mathbb{R}^2 \mid f(z)\le0\}.
Precisamos mostrar duas coisas:
  1. \overline A\subset B.
  2. A\subset\mathrm{int}(B).
    Vamos usar as propriedades de continuidade (pré‐imagens de abertos são abertos e de fechados são fechados) e as definições de fecho e interior.

Passo 2

Primeiro, note que
A = f^{-1}\bigl((-\infty,0)\bigr), \quad B = f^{-1}\bigl((-\infty,0]\bigr).
Como (-\infty,0] é um conjunto fechado em \mathbb{R} e f é contínua, B é fechado. Além disso, evidentemente A\subset B, pois se f(z)<0 então f(z)\le0. Agora, como B é fechado e contém A, seu fecho também contém o fecho de A, isto é,
\overline A \subset \overline B = B.

Passo 3

Agora, (-\infty,0) é um aberto em \mathbb{R} e, pela continuidade, A=f^{-1}((-\infty,0)) é aberto em \mathbb{R}^2. Como A\subset B e A é um aberto contido em B, segue que todo ponto de A é interior a B. Em outras palavras,
A\subset \mathrm{int}(B).

Resposta

\overline A \subset B e A \subset \mathrm{int}(B).

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