Considere
uma função injetiva e
uma função definida por
, para quaisquer
. Com base nessas informações, mostre que
é uma métrica em
.
Passo 1
O enunciado fornece uma função
injetiva e define
para quaisquer
. Queremos mostrar que
satisfaz as três propriedades de uma métrica em
:
- positividade e identidade dos indiscerníveis,
- simetria,
- desigualdade triangular.
Passo 2
Propriedade de positividade e identidade dos indiscerníveis. Como valor absoluto é sempre não negativo, temos
Além disso,
Pela injetividade de
,
só ocorre quando
. Logo,
Passo 3
Propriedade de simetria. Para quaisquer
,
Passo 4
Propriedade da desigualdade triangular. Dados
, aplicamos a desigualdade triangular do valor absoluto:
Resposta
Portanto,
satisfaz as três propriedades de uma métrica em
, logo
é uma métrica.