Considere f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} uma função injetiva e d: \mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} uma função definida por d(x, y)=|f(x)-f(y)|, para quaisquer x, y \in \mathbb{R}. Com base nessas informações, mostre que d é uma métrica em \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado fornece uma função f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R} injetiva e define
d(x,y)=\lvert f(x)-f(y)\rvert,
para quaisquer x,y\in\mathbb{R}. Queremos mostrar que d satisfaz as três propriedades de uma métrica em \mathbb{R}:
  1. positividade e identidade dos indiscerníveis,
  2. simetria,
  3. desigualdade triangular.

Passo 2

Propriedade de positividade e identidade dos indiscerníveis. Como valor absoluto é sempre não negativo, temos
d(x,y)=\lvert f(x)-f(y)\rvert\ge 0.
Além disso,
d(x,y)=0 \;\Longleftrightarrow\; \lvert f(x)-f(y)\rvert=0 \;\Longleftrightarrow\; f(x)=f(y).
Pela injetividade de f, f(x)=f(y) só ocorre quando x=y. Logo,
d(x,y)=0\quad\text{se e somente se}\quad x=y.

Passo 3

Propriedade de simetria. Para quaisquer x,y\in\mathbb{R},
d(x,y)=\lvert f(x)-f(y)\rvert =\lvert f(y)-f(x)\rvert =d(y,x).

Passo 4

Propriedade da desigualdade triangular. Dados x,y,z\in\mathbb{R}, aplicamos a desigualdade triangular do valor absoluto:
d(x,y)=\lvert f(x)-f(y)\rvert \le \lvert f(x)-f(z)\rvert + \lvert f(z)-f(y)\rvert =d(x,z)+d(z,y).

Resposta

Portanto, d satisfaz as três propriedades de uma métrica em \mathbb{R}, logo d é uma métrica.

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