Considere (
) um espaço métrico e
um subconjunto não vazio de
. Como consequência disso, mostre que
é um conjunto unitário.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, num espaço métrico
, um subconjunto não vazio
tem diâmetro zero se e somente se
é unitário (isto é, contém exatamente um ponto). Vamos usar a definição de diâmetro:
Passo 2
Suponha primeiro que
seja unitário, digamos
. Então os únicos pares
em
são
, e
Logo o conjunto de distâncias é
, cujo supremo é
. Portanto
Passo 3
Agora suponha que
. Como
para todo
, o fato de o supremo das distâncias ser zero implica que toda distância interna a
deve ser zero, isto é,
Pela propriedade de separação da métrica,
só ocorre se
. Assim todos os elementos de
são iguais entre si, e como
é não vazio, concluímos que
tem exatamente um elemento.
Resposta
Fica provado que