Considere ( M, d ) um espaço métrico e A um subconjunto não vazio de M. Como consequência disso, mostre que d(A)=0 \Leftrightarrow A é um conjunto unitário.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, num espaço métrico (M,d), um subconjunto não vazio A\subset M tem diâmetro zero se e somente se A é unitário (isto é, contém exatamente um ponto). Vamos usar a definição de diâmetro:
d(A)=\sup\bigl\{\,d(x,y)\mid x,y\in A\bigr\}.

Passo 2

Suponha primeiro que A seja unitário, digamos A=\{a\}. Então os únicos pares (x,y) em A\times A são (a,a), e
d(a,a)=0.
Logo o conjunto de distâncias é \{0\}, cujo supremo é 0. Portanto
d(A)=0.

Passo 3

Agora suponha que d(A)=0. Como d(x,y)\ge0 para todo x,y, o fato de o supremo das distâncias ser zero implica que toda distância interna a A deve ser zero, isto é,
\forall\,x,y\in A:\;d(x,y)=0.
Pela propriedade de separação da métrica, d(x,y)=0 só ocorre se x=y. Assim todos os elementos de A são iguais entre si, e como A é não vazio, concluímos que A tem exatamente um elemento.

Resposta

Fica provado que
d(A)=0\;\Longleftrightarrow\;A\text{ é unitário.}éá

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