Considere
um conjunto não vazio e
uma função com as seguintes propriedades:
(a)
;
(b)
, para quaisquer
.
Nessas condições, mostre que
é uma métrica em
.
(a)
(b)
Passo 1
O enunciado diz que temos um conjunto não-vazio
e uma função
que satisfaz
-
se, e somente se, . -
para quaisquer .
Queremos mostrar que
é uma métrica em
, ou seja, verificar as quatro propriedades:
- não-negatividade:
; - identidade de indiscerníveis:
; - simetria:
; - desigualdade triangular:
.
Passo 2
Verificamos imediatamente duas propriedades:
– Não-negatividade: como
tem imagem em
, temos
para todos
.
– Identidade de indiscerníveis: é exatamente a hipótese (a), ou seja,
Passo 3
Agora provamos simetria, isto é,
.
Usamos a desigualdade triangular dada na hipótese (b) escolhendo
:
Trocando
por
e vice-versa, obtemos
Dessa forma
implicam
Passo 4
A desigualdade triangular
é exatamente a hipótese (b), portanto já está garantida.
Resposta
Como satisfazmos as quatro propriedades de uma métrica (não-negatividade, identidade de indiscerníveis, simetria e desigualdade triangular), concluímos que
é de fato uma métrica em
.