Considere M um conjunto não vazio e d: M \times M \rightarrow[0,+\infty) uma função com as seguintes propriedades:
(a) d(x, y)=0 \Leftrightarrow x=y;
(b) d(x, y) \leq d(x, z)+d(y, z), para quaisquer x, y, z \in M.
Nessas condições, mostre que d é uma métrica em M.

Passo 1

O enunciado diz que temos um conjunto não-vazio M e uma função d\colon M\times M\to[0,+\infty) que satisfaz
  1. d(x,y)=0 se, e somente se, x=y.
  2. d(x,y)\le d(x,z)+d(y,z) para quaisquer x,y,z\in M.
Queremos mostrar que d é uma métrica em M, ou seja, verificar as quatro propriedades:
  • não-negatividade: d(x,y)\ge0;
  • identidade de indiscerníveis: d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y;
  • simetria: d(x,y)=d(y,x);
  • desigualdade triangular: d(x,y)\le d(x,z)+d(z,y).

Passo 2

Verificamos imediatamente duas propriedades:
Não-negatividade: como d tem imagem em [0,+\infty), temos
d(x,y)\ge0
para todos x,y\in M.
Identidade de indiscerníveis: é exatamente a hipótese (a), ou seja,
d(x,y)=0\iff x=y.

Passo 3

Agora provamos simetria, isto é, d(x,y)=d(y,x).
Usamos a desigualdade triangular dada na hipótese (b) escolhendo z=x:
d(x,y)\le d(x,x)+d(y,x)=0 + d(y,x)=d(y,x).
Trocando x por y e vice-versa, obtemos
d(y,x)\le d(y,y)+d(x,y)=d(x,y).
Dessa forma
d(x,y)\le d(y,x)\quad\text{e}\quad d(y,x)\le d(x,y)
implicam
d(x,y)=d(y,x).

Passo 4

A desigualdade triangular
d(x,y)\le d(x,z)+d(z,y)
é exatamente a hipótese (b), portanto já está garantida.

Resposta

Como satisfazmos as quatro propriedades de uma métrica (não-negatividade, identidade de indiscerníveis, simetria e desigualdade triangular), concluímos que d é de fato uma métrica em M.

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