Considere \mathbb{R} e \mathbb{R}^{2} munidos das métricas euclidianas e A=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; x y>0\right\}. Com base nessas informações, mostre que o conjunto A é aberto em \mathbb{R}^{2}.

Passo 1

O conjunto em questão é
A = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x\,y > 0\},
munido da métrica euclidiana. Para mostrar que A é aberto em \mathbb{R}^2, basta provar que todo ponto de A possui uma bola aberta centrada nele inteiramente contida em A.

Passo 2

Seja (x_0,y_0)\in A. Então
x_0\,y_0 > 0
implica que x_0 e y_0 têm o mesmo sinal, logo \lvert x_0\rvert>0 e \lvert y_0\rvert>0. Defina
\delta = \min\{\lvert x_0\rvert,\;\lvert y_0\rvert\} > 0.

Passo 3

Considere a bola aberta de raio \delta/2 em torno de (x_0,y_0):
B\bigl((x_0,y_0),\delta/2\bigr) =\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid \sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}<\delta/2\}.
Se (x,y) está nessa bola, então
\lvert x - x_0\rvert < \delta/2 \le \lvert x_0\rvert/2 \quad\Longrightarrow\quad \lvert x\rvert \ge \lvert x_0\rvert - \lvert x - x_0\rvert > \lvert x_0\rvert/2>0,
e como \lvert x-x_0\rvert<\lvert x_0\rvert, x conserva o sinal de x_0. De modo análogo y conserva o sinal de y_0 e \lvert y\rvert>\lvert y_0\rvert/2>0. Assim
x\,y>0
e, portanto, (x,y)\in A. Isso mostra que
B\bigl((x_0,y_0),\delta/2\bigr)\subseteq A.

Passo 4

Como (x_0,y_0)\in A foi escolhido de modo arbitrário e sempre encontramos uma bola aberta em A contendo (x_0,y_0), concluímos que A é aberto em \mathbb{R}^2.

Resposta

O conjunto A é aberto em \mathbb{R}^2.

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