Considere
e
munidos das métricas euclidianas e
. Com base nessas informações, mostre que o conjunto
é aberto em
.
Passo 1
O conjunto em questão é
munido da métrica euclidiana. Para mostrar que
é aberto em
, basta provar que todo ponto de
possui uma bola aberta centrada nele inteiramente contida em
.
Passo 2
Seja
. Então
implica que
e
têm o mesmo sinal, logo
e
. Defina
Passo 3
Considere a bola aberta de raio
em torno de
:
Se
está nessa bola, então
e como
,
conserva o sinal de
. De modo análogo
conserva o sinal de
e
. Assim
e, portanto,
. Isso mostra que
Passo 4
Como
foi escolhido de modo arbitrário e sempre encontramos uma bola aberta em
contendo
, concluímos que
é aberto em
.
Resposta
O conjunto
é aberto em
.