2.2. Considere

f(x)= \begin{cases}x+1, & x \neq 1 \\\\ 5, & x=1\end{cases}
Calcule \lim _{x \rightarrow 1} f(x) e compare com f(1).
Solução. Para x próximo de 1 , mas diferente de 1 , a função é dada por f(x)=x+1. Portanto,
\lim _{x \rightarrow 1} f(x)=\lim _{x \rightarrow 1}(x+1)=2
Por outro lado, pela definição da função,
f(1)=5
Assim,
\lim _{x \rightarrow 1} f(x)=2 \neq 5=f(1)
Este exemplo mostra que o limite depende do comportamento da função perto do ponto, não necessariamente do valor da função no próprio ponto.

Passo 1

O enunciado dá a função por partes:
  • Para x\neq1: f(x)=x+1.
  • Para x=1: f(1)=5.
O que a questão pede:
  1. Calcular \lim_{x\to1} f(x).
  2. Comparar esse limite com o valor f(1).

Passo 2

Entender o que significa calcular \lim_{x\to1} f(x). Aqui o limite pergunta qual é o valor que f(x) se aproxima quando x chega cada vez mais perto de 1, mas sem necessariamente ser igual a 1. Note que ao calcular o limite só importa o comportamento de f(x) para x próximos de 1 com x\neq1. Do enunciado, para todos esses x a expressão vale x+1. Portanto, ao calcular o limite usamos essa expressão x+1.

Passo 3

Cálculo direto do limite usando a expressão que vale para x\neq1. Para funções polinomiais e afins (como x+1) podemos usar a ideia intuitiva de substituição: quando x tende a 1, x+1 tende a 1+1. Para ser um pouco mais formal, escrevo a diferença entre a expressão e o número que espero como limite:
\bigl|(x+1)-2\bigr|=|x-1|.
Se eu quiser garantir que (x+1) fica dentro de qualquer margem \epsilon>0 em torno de 2, basta garantir |x-1|<\epsilon. Ou seja, escolhendo \delta=\epsilon, sempre que 0<|x-1|<\delta tem-se |(x+1)-2|<\epsilon. Isso é exatamente a definição de \lim_{x\to1}(x+1)=2. Portanto o limite existe e é igual a 2.

Passo 4

Relembre o que foi dado para f(1). Pelo enunciado temos explicitamente:
f(1)=5.

Passo 5

Comparação entre limite e valor no ponto. Encontramos que o comportamento de f(x) perto de 1 (ou seja, o limite) é 2, enquanto o valor da função no próprio ponto é 5. Logo esses dois números são diferentes:
\lim_{x\to1} f(x)=2 \quad\text{e}\quad f(1)=5,
portanto \lim_{x\to1} f(x)\neq f(1).

Passo 6

Interpretação didática e dica para a prova. Quando a definição da função dá uma expressão para x\neq a e um valor possivelmente diferente para x=a, o procedimento-padrão na prova é:
  • Calcular o limite usando a expressão válida para x próximos de a (aqui x+1).
  • Comparar com o valor dado f(a).
    Se o limite existir e for diferente de f(a), a função tem uma descontinuidade removível em a: bastaria redefinir f(a) para igualar ao limite (aqui redefinir f(1)=2) para tornar a função contínua em 1. Dica prática: sempre plugue o ponto na expressão da parte que vale para x\neq a; se der número finito, esse é o limite.

Resposta

\lim_{x\to1} f(x)=2
f(1)=5
\lim_{x\to1} f(x)\neq f(1)

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