1.5. Resolva as equações

2 e^{3 x-1}=10 \quad \text { e } \quad \log _{2}(x-1)+\log _{2}(x+1)=3 .
Solução. Na primeira equação,
2 e^{3 x-1}=10 \quad \Longrightarrow \quad e^{3 x-1}=5
Aplicando logaritmo natural:
3 x-1=\ln 5
Assim,
x=\frac{1+\ln 5}{3}
Na segunda equação, precisamos primeiro impor o domínio:
x-1>0 \quad \text { e } \quad x+1>0
Daí x>1. Usando a propriedade dos logaritmos,
\log _{2}(x-1)+\log _{2}(x+1)=\log _{2}[(x-1)(x+1)] .
Logo,
\log _{2}\left(x^{2}-1\right)=3
Como 3=\log _{2} 8, temos
x^{2}-1=8 \quad \Longrightarrow \quad x^{2}=9 \text {. }
Portanto x= \pm 3, mas o domínio exige x>1. Assim,
x=3

Passo 1

O enunciado pede resolver as duas equações abaixo, encontrando todas as soluções reais admissíveis:
2 e^{3x-1}=10
e
\log_{2}(x-1)+\log_{2}(x+1)=3.
Informações relevantes fornecidas:
  • As duas equações envolvem funções inversas: a exponencial e^{(\cdot)} e o logaritmo na base 2.
  • Em cada uma devemos achar os valores de x que tornam a igualdade verdadeira.
  • No caso da equação com logaritmos, há restrições de domínio nos argumentos dos logaritmos (esses argumentos precisam ser positivos).

Passo 2

Resolver a primeira equação passo a passo. Começo isolando a exponencial:
2 e^{3x-1}=10
Divido ambos os lados por 2:
e^{3x-1}= \frac{10}{2}
e^{3x-1}=5.
Explicação didática: a função y\mapsto e^{y} é bijetora (estritamente crescente e com imagem (0,\infty)), então para “desfazer” a exponenciação usamos o logaritmo natural \ln, que é a função inversa de e^{(\cdot)}. Aplicar \ln dos dois lados é legal porque 5>0.

Passo 3

Aplicar o logaritmo natural e resolver para x:
\ln\bigl(e^{3x-1}\bigr)=\ln 5
Pela propriedade da inversão \ln(e^{y})=y, obtemos
3x-1=\ln 5.
Agora isolo x:
3x=1+\ln 5
x=\frac{1+\ln 5}{3}.
Verificação rápida (útil na prova): substituir esse x na expressão original dá
2 e^{3x-1}=2 e^{\ln 5}=2\cdot 5=10,
o que confirma que a solução está correta.

Passo 4

Agora vamos para a segunda equação. Primeiro tratamos do domínio dos logaritmos. A expressão é
\log_{2}(x-1)+\log_{2}(x+1)=3.
Condição necessária para os logaritmos estarem definidos: os argumentos devem ser positivos, isto é
x-1>0 \quad\text{e}\quad x+1>0.
Essas desigualdades implicam
x>1.
Portanto somente valores de x maiores que 1 podem ser aceitos como soluções candidatas. Isso elimina automaticamente quaisquer raízes que não satisfaçam x>1.

Passo 5

Usar propriedade dos logaritmos para somar os termos: para base a com a>0 e a\neq1 vale
\log_{a}u+\log_{a}v=\log_{a}(uv),
desde que u>0 e v>0. Aplicando à equação com a=2, u=x-1 e v=x+1,
\log_{2}\bigl((x-1)(x+1)\bigr)=3.
Multiplico e simplifico o produto:
(x-1)(x+1)=x^{2}-1,
assim a equação fica
\log_{2}\bigl(x^{2}-1\bigr)=3.

Passo 6

Converter a equação logarítmica em forma exponencial. A definição de logaritmo diz que
\log_{2}\bigl(y\bigr)=3 \quad\Longleftrightarrow\quad y=2^{3}.
Aplicando com y=x^{2}-1,
x^{2}-1=2^{3}.
Calculo 2^{3}:
x^{2}-1=8
x^{2}=9.
Resolver para x:
x=\pm 3.

Passo 7

Aplicar a restrição de domínio x>1 (obtida no Passo 4). Das duas soluções x=3 e x=-3, apenas
x=3
satisfaz x>1. Verificação rápida substituindo em \log_{2}(x-1)+\log_{2}(x+1):
\log_{2}(3-1)+\log_{2}(3+1)=\log_{2}2+\log_{2}4=1+2=3,
confirmando que x=3 é solução válida.

Resposta

x=\dfrac{1+\ln 5}{3}
x=3

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