1.5. Resolva as equações
Solução. Na primeira equação,
Aplicando logaritmo natural:
Assim,
Na segunda equação, precisamos primeiro impor o domínio:
Daí
. Usando a propriedade dos logaritmos,
Logo,
Como
, temos
Portanto
, mas o domínio exige
. Assim,
Passo 1
O enunciado pede resolver as duas equações abaixo, encontrando todas as soluções reais admissíveis:
e
Informações relevantes fornecidas:
- As duas equações envolvem funções inversas: a exponencial
e o logaritmo na base . - Em cada uma devemos achar os valores de
que tornam a igualdade verdadeira. - No caso da equação com logaritmos, há restrições de domínio nos argumentos dos logaritmos (esses argumentos precisam ser positivos).
Passo 2
Resolver a primeira equação passo a passo. Começo isolando a exponencial:
Divido ambos os lados por
:
Explicação didática: a função
é bijetora (estritamente crescente e com imagem
), então para “desfazer” a exponenciação usamos o logaritmo natural
, que é a função inversa de
. Aplicar
dos dois lados é legal porque
.
Passo 3
Aplicar o logaritmo natural e resolver para
:
Pela propriedade da inversão
, obtemos
Agora isolo
:
Verificação rápida (útil na prova): substituir esse
na expressão original dá
o que confirma que a solução está correta.
Passo 4
Agora vamos para a segunda equação. Primeiro tratamos do domínio dos logaritmos. A expressão é
Condição necessária para os logaritmos estarem definidos: os argumentos devem ser positivos, isto é
Essas desigualdades implicam
Portanto somente valores de
maiores que
podem ser aceitos como soluções candidatas. Isso elimina automaticamente quaisquer raízes que não satisfaçam
.
Passo 5
Usar propriedade dos logaritmos para somar os termos: para base
com
e
vale
desde que
e
. Aplicando à equação com
,
e
,
Multiplico e simplifico o produto:
assim a equação fica
Passo 6
Converter a equação logarítmica em forma exponencial. A definição de logaritmo diz que
Aplicando com
,
Calculo
:
Resolver para
:
Passo 7
Aplicar a restrição de domínio
(obtida no Passo 4). Das duas soluções
e
, apenas
satisfaz
. Verificação rápida substituindo em
:
confirmando que
é solução válida.