2.1. Estime e depois calcule o limite

\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{2}-4}{x-2}
Solução. A expressão não está definida em x=2, pois o denominador se anula. Entretanto, para x \neq 2, podemos fatorar:
x^{2}-4=(x-2)(x+2)
Assim,
\frac{x^{2}-4}{x-2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2, \quad x \neq 2
Quando x se aproxima de 2 , a expressão x+2 se aproxima de 4 . Portanto,
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{2}-4}{x-2}=4
Intuitivamente, embora exista um “buraco” no ponto x=2, os valores da função nas proximidades de 2 se aproximam de 4 .

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x \rightarrow 2} \frac{x^{2}-4}{x-2}.
Informações importantes dadas:
  • A expressão é \dfrac{x^{2}-4}{x-2}.
  • O ponto onde o limite é pedido é x=2.
  • Observação: em x=2 o denominador se anula, logo a expressão não está definida exatamente em x=2 (há um “buraco” aí).
    O pedido implícito é: primeiro estimar numericamente o valor que a expressão toma quando x se aproxima de 2 e depois calcular o limite rigorosamente.

Passo 2

Estimativa numérica para ter intuição (usar valores próximos de 2):
Calcular a expressão original para x ligeiramente menores e maiores que 2.
Para x=1{,}9:
\frac{1{,}9^{2}-4}{1{,}9-2}=\frac{3{,}61-4}{-0{,}1}=\frac{-0{,}39}{-0{,}1}=3{,}9.
Para x=1{,}99:
\frac{1{,}99^{2}-4}{1{,}99-2}=\frac{3{,}9601-4}{-0{,}01}=\frac{-0{,}0399}{-0{,}01}=3{,}99.
Para x=2{,}1:
\frac{2{,}1^{2}-4}{2{,}1-2}=\frac{4{,}41-4}{0{,}1}=\frac{0{,}41}{0{,}1}=4{,}1.
Para x=2{,}01:
\frac{2{,}01^{2}-4}{2{,}01-2}=\frac{4{,}0401-4}{0{,}01}=\frac{0{,}0401}{0{,}01}=4{,}01.
Interpretação da estimativa: ao nos aproximarmos de 2 pela esquerda e pela direita, os valores calculados se aproximam de 4. Isso sugere que o limite é 4.

Passo 3

Explicar e aplicar uma técnica algébrica útil: fatoração da diferença de quadrados.
Fórmula usada (diferença de quadrados): para quaisquer números a e b,
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b).
Aqui podemos ver x^{2}-4 como x^{2}-2^{2}. Aplicando a fórmula:
x^{2}-4=(x-2)(x+2).

Passo 4

Simplificar a expressão original usando a fatoração (válido para x\neq2):
\frac{x^{2}-4}{x-2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2,\qquad x\neq2.
Explicação: como x\neq2 (estamos estudando a vizinhança de 2, mas não o ponto exatamente), podemos cancelar o fator (x-2) numerador e denominador. Isso mostra que, para todos os x próximos de 2 (exceto exatamente 2), a função toma o mesmo valor que a função polinomial x+2.

Passo 5

Usar propriedades de limites e continuidade para calcular o limite: se duas funções coincidem em torno de a (exceto possivelmente em a), elas têm o mesmo limite em a. A função simplificada x+2 é um polinômio, e polinômios são contínuos em todo ponto, portanto
\lim_{x\rightarrow 2} (x+2)=2+2=4.
Como \dfrac{x^{2}-4}{x-2}=x+2 para x\neq2, o limite pedido é o mesmo:
\lim_{x\rightarrow 2} \frac{x^{2}-4}{x-2}=4.

Passo 6

Comentário didático final e interpretação: a expressão original tem uma descontinuidade removível em x=2 — isto é, há um “buraco” porque a função não está definida em 2, mas os valores próximos apontam para 4. Em provas, sempre que aparecer uma forma \dfrac{0}{0} ao tentar substituir diretamente, é sinal para tentar simplificar (por fatoração, racionalização, etc.) antes de aplicar regras mais avançadas como L’Hôpital. Aqui a técnica é fatorar a diferença de quadrados.

Resposta

4

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