2.1. Estime e depois calcule o limite
Solução. A expressão não está definida em
, pois o denominador se anula. Entretanto, para
, podemos fatorar:
Assim,
Quando
se aproxima de 2 , a expressão
se aproxima de 4 . Portanto,
Intuitivamente, embora exista um “buraco” no ponto
, os valores da função nas proximidades de 2 se aproximam de 4 .
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações importantes dadas:
- A expressão é
. - O ponto onde o limite é pedido é
. - Observação: em
o denominador se anula, logo a expressão não está definida exatamente em (há um “buraco” aí).
O pedido implícito é: primeiro estimar numericamente o valor que a expressão toma quandose aproxima de e depois calcular o limite rigorosamente.
Passo 2
Estimativa numérica para ter intuição (usar valores próximos de
):
Calcular a expressão original para ligeiramente menores e maiores que
.
Calcular a expressão original para
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Interpretação da estimativa: ao nos aproximarmos de
pela esquerda e pela direita, os valores calculados se aproximam de
. Isso sugere que o limite é
.
Passo 3
Explicar e aplicar uma técnica algébrica útil: fatoração da diferença de quadrados.
Fórmula usada (diferença de quadrados): para quaisquer números
e
,
Aqui podemos ver
como
. Aplicando a fórmula:
Passo 4
Simplificar a expressão original usando a fatoração (válido para
):
Explicação: como
(estamos estudando a vizinhança de
, mas não o ponto exatamente), podemos cancelar o fator
numerador e denominador. Isso mostra que, para todos os
próximos de
(exceto exatamente
), a função toma o mesmo valor que a função polinomial
.
Passo 5
Usar propriedades de limites e continuidade para calcular o limite: se duas funções coincidem em torno de
(exceto possivelmente em
), elas têm o mesmo limite em
. A função simplificada
é um polinômio, e polinômios são contínuos em todo ponto, portanto
Como
para
, o limite pedido é o mesmo:
Passo 6
Comentário didático final e interpretação: a expressão original tem uma descontinuidade removível em
— isto é, há um “buraco” porque a função não está definida em
, mas os valores próximos apontam para
. Em provas, sempre que aparecer uma forma
ao tentar substituir diretamente, é sinal para tentar simplificar (por fatoração, racionalização, etc.) antes de aplicar regras mais avançadas como L’Hôpital. Aqui a técnica é fatorar a diferença de quadrados.