Considere f(x)= \begin{cases}2 x & \text { se } 0<x \leq 2, \\\\ -1 & \text { se } 2<x \leq 4, \text { Determine: } \\\\ 5-x & \text { se } 4<x \leq 5 .\end{cases}
\int_{1}^{5} f(x) d x.

Passo 1

O enunciado define a função por partes
f(x)= \begin{cases} 2x, &0<x\le2,\\\\ -1, &2<x\le4,\\\\ 5-x,&4<x\le5, \end{cases}
e pede o valor de \displaystyle\int_{1}^{5}f(x)\,dx. O conteúdo aqui é integração de função por partes, e vamos precisar dividir o integral nos trechos onde f muda de expressão.

Passo 2

Dividimos o integral em três partes conforme a definição de f:
\int_{1}^{5}f(x)\,dx =\int_{1}^{2}2x\,dx +\int_{2}^{4}(-1)\,dx +\int_{4}^{5}(5-x)\,dx.

Passo 3

Calculamos o primeiro termo:
\int_{1}^{2}2x\,dx =\bigl[x^2\bigr]_{1}^{2} =2^2-1^2 =4-1 =3.

Passo 4

Calculamos o segundo termo:
\int_{2}^{4}(-1)\,dx =-1\cdot(4-2) =-2.

Passo 5

Calculamos o terceiro termo:
\int_{4}^{5}(5-x)\,dx =\bigl[5x-\tfrac{x^2}{2}\bigr]_{4}^{5} =\bigl(25-\tfrac{25}{2}\bigr)-\bigl(20-\tfrac{16}{2}\bigr) =\tfrac{25}{2}-\bigl(20-8\bigr) =\tfrac{25}{2}-12 =\tfrac{25-24}{2} =\tfrac{1}{2}.

Passo 6

Somando os três resultados:
3+(-2)+\tfrac12 =1+\tfrac12 =\tfrac32.

Resposta

\displaystyle \frac32

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