Considere f(x)= \begin{cases}2 x & \text { se } 0<x \leq 2, \\\\ -1 & \text { se } 2<x \leq 4, \text { Determine: } \\\\ 5-x & \text { se } 4<x \leq 5 .\end{cases} \int_{1}^{5} f(x) d x. Passo 1O enunciado define a função por partes f(x)= \begin{cases} 2x, &0<x\le2,\\\\ -1, &2<x\le4,\\\\ 5-x,&4<x\le5, \end{cases} e pede o valor de \displaystyle\int_{1}^{5}f(x)\,dx. O conteúdo aqui é integração de função por partes, e vamos precisar dividir o integral nos trechos onde f muda de expressão. Passo 2Dividimos o integral em três partes conforme a definição de f: \int_{1}^{5}f(x)\,dx =\int_{1}^{2}2x\,dx +\int_{2}^{4}(-1)\,dx +\int_{4}^{5}(5-x)\,dx. Passo 3Calculamos o primeiro termo: \int_{1}^{2}2x\,dx =\bigl[x^2\bigr]_{1}^{2} =2^2-1^2 =4-1 =3. Passo 4Calculamos o segundo termo: \int_{2}^{4}(-1)\,dx =-1\cdot(4-2) =-2. Passo 5Calculamos o terceiro termo: \int_{4}^{5}(5-x)\,dx =\bigl[5x-\tfrac{x^2}{2}\bigr]_{4}^{5} =\bigl(25-\tfrac{25}{2}\bigr)-\bigl(20-\tfrac{16}{2}\bigr) =\tfrac{25}{2}-\bigl(20-8\bigr) =\tfrac{25}{2}-12 =\tfrac{25-24}{2} =\tfrac{1}{2}. Passo 6Somando os três resultados: 3+(-2)+\tfrac12 =1+\tfrac12 =\tfrac32. Resposta \displaystyle \frac32 MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosConsidere f(x)= \begin{cases}2 x & \text { se } 0<x \leq 2, \\\\ -1 & \text { se } 2<x \leq 4, \text { Determine: } \\\\ 5-x & \text { se } 4<x \leq 5 .\end{cases} \int_{2}^{3} f(x) d x; Considere f(x)= \begin{cases}2 x & \text { se } 0<x \leq 2, \\\\ -1 & \text { se } 2<x \leq 4, \text { Determine: } \\\\ 5-x & \text { se } 4<x \leq 5 .\end{cases} \int_{0}^{3} f(x) d x; Considere g(x)=\int_{0}^{e^{2 x}} \operatorname{sen}\left(t^{2}\right) d t. Calcule g^{\prime}(x). Determine a equação da reta tangente ao gráfico de y(x)=\log \left(2+\operatorname{sen}\left(x^{2}-\pi\right)\right)+\int_{\sqrt{\pi}}^{x} \cos \left(s^{2}\right) d s no ponto (\sqrt{\pi}, \quad \log 2).