Exercício 5.13. Se a variável aleatória
é uniformemente distribuída sobre [0,5], encontre também a função de distribuição acumulada de K e esboce seu gráfico.
Passo 1
Vamos resolver um exercício sobre distribuição uniforme. A variável aleatória $ K $ está distribuída uniformemente no intervalo [0, 5]. Nosso objetivo é encontrar a função de distribuição acumulada (CDF) de $ K $ e esboçar o gráfico dessa função. Para isso, vamos precisar entender o que é distribuição uniforme e como calcular a CDF.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma distribuição uniforme contínua. Quando uma variável aleatória é uniformemente distribuída em um intervalo
, isso significa que todas as ocorrências dentro desse intervalo têm a mesma probabilidade. A função de densidade de probabilidade (PDF) é constante nesse intervalo e zero fora dele.
Passo 3
A função de distribuição acumulada (CDF), denotada por $ F_K(k) $, nos dá a probabilidade de que a variável $ K $ seja menor ou igual a um valor específico $ k $. Matemáticamente, é expressa como:
Para uma distribuição uniforme, a CDF pode ser encontrada integrando a PDF de $ a $ até $ k $.
Passo 4
Como $ K $ está uniformemente distribuído em [0, 5], a PDF é:
Agora, vamos calcular a CDF $ F_K(k) $.
Passo 5
Para $ k < 0 $, como a variável $ K $ nunca assume valores menores que 0, temos:
Para $ 0 \leq k \leq 5 $, integramos a PDF de 0 até $ k $:
E para $ k > 5 $, a variável $ K $ sempre será menor que $ k $, então:
Passo 6
Agora, juntando tudo, a função de distribuição acumulada $ F_K(k) $ fica:
Para esboçar o gráfico, imagine uma linha reta saindo do ponto (0,0) até o ponto (5,1), representando a parte linear da CDF, e constante fora desse intervalo.
Resposta
A função de distribuição acumulada de $ K $ é dada por:
E o gráfico da CDF é uma linha reta que cresce de 0 a 1 no intervalo [0,5], sendo constante fora desse intervalo.