Encontre todos os valores reais de k para os quais o domínio de f(x)=\sqrt{x^{2}-4 x+k} seja \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar todos os valores reais de k tais que o domínio da função f(x)=\sqrt{x^{2}-4 x+k} seja todo \mathbb{R}.
Informações relevantes dadas:
  • A função é uma raiz quadrada real; portanto o radicando precisa ser não negativo para que a expressão faça sentido real.
  • Queremos que isso valha para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 2

Traduzindo a exigência em matemática: o domínio ser \mathbb{R} significa que, para todo x\in\mathbb{R},
x^{2}-4x+k \ge 0.
Logo precisamos achar os k\in\mathbb{R} que garantem que a desigualdade acima é verdadeira para todo x.

Passo 3

Vou transformar o polinômio em uma forma mais clara usando completar o quadrado. Isso ajuda a ver o valor mínimo da expressão em função de k. Fazer completar o quadrado é reescrever uma quadrática como um quadrado perfeito mais uma constante. No caso,
x^{2}-4x+k = (x-2)^{2} + k-4.
Explicando passo a passo: (x-2)^{2}=x^{2}-4x+4, portanto substituindo obtemos a igualdade acima.

Passo 4

Observação importante sobre (x-2)^{2}: para todo x vale (x-2)^{2}\ge 0. Assim, para todo x,
x^{2}-4x+k = (x-2)^{2} + k-4 \ge k-4.
Isso mostra que o menor valor possível do radicando, quando x varia, é exatamente k-4 (ocorre em x=2).

Passo 5

Para que o radicando seja não negativo para todo x precisamos que esse mínimo seja \ge 0. Ou seja,
k-4 \ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad k \ge 4.
Verificação dos casos extremos: se k=4 então x^{2}-4x+k=(x-2)^{2}\ge 0 para todo x, ok; se k>4 o radicando é estritamente positivo para x\neq2 e \ge0 em todo lugar; se k<4 então avaliando em x=2 obtém-se x^{2}-4x+k=k-4<0, portanto o domínio não é \mathbb{R}.

Resposta

k\in[4,\infty)

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