Encontre todos os valores reais de
para os quais o domínio de
seja
.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar todos os valores reais de
tais que o domínio da função
seja todo
.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- A função é uma raiz quadrada real; portanto o radicando precisa ser não negativo para que a expressão faça sentido real.
- Queremos que isso valha para todo
.
Passo 2
Traduzindo a exigência em matemática: o domínio ser
significa que, para todo
,
Logo precisamos achar os
que garantem que a desigualdade acima é verdadeira para todo
.
Passo 3
Vou transformar o polinômio em uma forma mais clara usando completar o quadrado. Isso ajuda a ver o valor mínimo da expressão em função de
. Fazer completar o quadrado é reescrever uma quadrática como um quadrado perfeito mais uma constante. No caso,
Explicando passo a passo:
, portanto substituindo obtemos a igualdade acima.
Passo 4
Observação importante sobre
: para todo
vale
. Assim, para todo
,
Isso mostra que o menor valor possível do radicando, quando
varia, é exatamente
(ocorre em
).
Passo 5
Para que o radicando seja não negativo para todo
precisamos que esse mínimo seja
. Ou seja,
Verificação dos casos extremos: se
então
para todo
, ok; se
o radicando é estritamente positivo para
e
em todo lugar; se
então avaliando em
obtém-se
, portanto o domínio não é
.