Considere f(x, y)=\frac{x^{2}+y^{2}}{x-y}, \operatorname{com} x \neq y. Calcule f_{x} e f_{y}. Comente sobre possíveis singularidades do campo escalar.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)=\frac{x^{2}+y^{2}}{x-y},\quad x\neq y,
e pede as derivadas parciais \partial f/\partial x e \partial f/\partial y, além de comentar sobre singularidades. Vamos usar a regra do quociente: se u(x,y) e v(x,y) são funções,
\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\frac{u}{v}\Bigr) =\frac{u_x\,v - u\,v_x}{v^2}, \quad \frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{u}{v}\Bigr) =\frac{u_y\,v - u\,v_y}{v^2}.

Passo 2

Identificamos
u(x,y)=x^2+y^2,\quad v(x,y)=x-y.
Então
u_x=2x,\quad v_x=1.
Aplicando a regra do quociente para \partial f/\partial x:
f_x =\frac{2x\,(x-y)-(x^2+y^2)\cdot1}{(x-y)^2} =\frac{2x^2-2xy - x^2 - y^2}{(x-y)^2} =\frac{x^2-2xy - y^2}{(x-y)^2}.

Passo 3

Para \partial f/\partial y usamos
u_y=2y,\quad v_y=-1.
Logo
f_y =\frac{2y\,(x-y)-(x^2+y^2)\,(-1)}{(x-y)^2} =\frac{2xy-2y^2 + x^2 + y^2}{(x-y)^2} =\frac{x^2+2xy - y^2}{(x-y)^2}.

Passo 4

O denominador comum em f, f_x e f_y é (x-y). Portanto há singularidade sempre que
x-y=0,
isto é, ao longo da reta x=y, ponto em que a função e suas derivadas explodem. Não há outro ponto de indeterminação no domínio x\neq y.

Resposta

f_x(x,y)=\frac{x^2-2xy - y^2}{(x-y)^2}, \qquad f_y(x,y)=\frac{x^2+2xy - y^2}{(x-y)^2}.
Singularidade: reta x=y.

Exercícios relacionados