Seja
. Calcule
e
usando explicitamente a regra do produto e verifique a simetria de
e
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede as derivadas parciais
e
usando a regra do produto, além de verificar que as derivadas mistas
e
coincidem. O conteúdo aqui é cálculo de derivadas parciais e aplicação da simetria de Schwarz para funções suficientemente suaves.
Passo 2
Para
, escrevemos
Então
Pela regra do produto,
Passo 3
Para
, usamos
novamente, de modo que
Então
Passo 4
Agora calculamos as derivadas mistas.
- Primeiro
. Aplicando produto e cadeia:
- Agora
:
Concluímos que
confirmando a simetria das derivadas mistas.