Seja f(x, y)=\left(x^{2} y\right) e^{x y}. Calcule f_{x} e f_{y} usando explicitamente a regra do produto e verifique a simetria de f_{x y} e f_{y x}.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y) = \bigl(x^{2}y\bigr)\,e^{xy}
e pede as derivadas parciais \displaystyle f_{x} e \displaystyle f_{y} usando a regra do produto, além de verificar que as derivadas mistas \displaystyle f_{xy} e \displaystyle f_{yx} coincidem. O conteúdo aqui é cálculo de derivadas parciais e aplicação da simetria de Schwarz para funções suficientemente suaves.

Passo 2

Para \displaystyle f_{x}, escrevemos
u(x,y)=x^{2}y,\quad v(x,y)=e^{xy}.
Então
u_{x}=2xy,\quad v_{x}=y\,e^{xy}.
Pela regra do produto,
f_{x} = u_{x}v + u\,v_{x} = 2xy\,e^{xy} + x^{2}y\cdot y\,e^{xy} = e^{xy}\bigl(2xy + x^{2}y^{2}\bigr).

Passo 3

Para \displaystyle f_{y}, usamos
u(x,y)=x^{2}y,\quad v(x,y)=e^{xy}
novamente, de modo que
u_{y}=x^{2},\quad v_{y}=x\,e^{xy}.
Então
f_{y} = u_{y}v + u\,v_{y} = x^{2}\,e^{xy} + x^{2}y\cdot x\,e^{xy} = e^{xy}\bigl(x^{2} + x^{3}y\bigr).

Passo 4

Agora calculamos as derivadas mistas.
  1. Primeiro \displaystyle f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl[e^{xy}(2xy + x^{2}y^{2})\bigr]. Aplicando produto e cadeia:
f_{xy} = \underbrace{x\,e^{xy}}_{\partial_y e^{xy}}\,(2xy + x^{2}y^{2}) + e^{xy}\,\underbrace{(2x + 2x^{2}y)}_{\partial_y(2xy + x^{2}y^{2})} = e^{xy}\bigl(2x + 4x^{2}y + x^{3}y^{2}\bigr).
  1. Agora \displaystyle f_{yx}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl[e^{xy}(x^{2} + x^{3}y)\bigr]:
f_{yx} = \underbrace{y\,e^{xy}}_{\partial_x e^{xy}}\,(x^{2} + x^{3}y) + e^{xy}\,\underbrace{(2x + 3x^{2}y)}_{\partial_x(x^{2} + x^{3}y)} = e^{xy}\bigl(2x + 4x^{2}y + x^{3}y^{2}\bigr).
Concluímos que
f_{xy} = f_{yx},
confirmando a simetria das derivadas mistas.

Resposta

\displaystyle f_{x}(x,y) = e^{xy}\bigl(2xy + x^{2}y^{2}\bigr) \displaystyle f_{y}(x,y) = e^{xy}\bigl(x^{2} + x^{3}y\bigr) \displaystyle f_{xy}(x,y) = f_{yx}(x,y) = e^{xy}\bigl(2x + 4x^{2}y + x^{3}y^{2}\bigr)

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