Um tanque de armazenamento químico tem volume dado por:
V(x, y)=x y(10-x-y)
onde x e y são dimensões do tanque. Determine as dimensões que maximizam o volume.

Passo 1

O problema dá a função de volume de um tanque
V(x,y)=x\,y\,(10 - x - y),
onde x\ge0, y\ge0 e x+y\le10. Queremos encontrar as dimensões (x,y) que maximizam V. Como é um problema de otimização de uma função de duas variáveis num domínio fechado, vamos (1) achar os pontos críticos pela parada das derivadas parciais e (2) comparar com os valores na fronteira.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de V:
\frac{\partial V}{\partial x} = y(10 - x - y) + x\,y(-1) = y\bigl(10 - 2x - y\bigr),
\frac{\partial V}{\partial y} = x(10 - x - y) + x\,y(-1) = x\bigl(10 - x - 2y\bigr).

Passo 3

Para um ponto crítico interno (com x>0 e y>0), impomos
y\bigl(10 - 2x - y\bigr)=0, \qquad x\bigl(10 - x - 2y\bigr)=0.
Como x>0 e y>0, segue o sistema
\begin{cases} 10 - 2x - y = 0,\\\\ 10 - x - 2y = 0. \end{cases}
Subtraindo a segunda da primeira (ou resolvendo por qualquer método), obtemos
2x + y = 10,\quad x + 2y = 10 \;\longrightarrow\; x = \frac{10}{3},\; y = \frac{10}{3}.

Passo 4

Na fronteira x=0 ou y=0, claramente V=0. Na reta x+y=10, temos V=x\,y\,(10-10)=0. Logo, o único valor positivo de V vem do ponto crítico interior.

Passo 5

Comparando os valores, o ponto \bigl(x,y\bigr)=\bigl(\tfrac{10}{3},\tfrac{10}{3}\bigr) é onde V atinge seu máximo. A terceira dimensão do tanque, dada por 10-x-y, também vale \tfrac{10}{3}.

Resposta

As dimensões que maximizam o volume são
x = \frac{10}{3},\quad y = \frac{10}{3}, \quad \text{altura} = 10 - x - y = \frac{10}{3}.

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