Para f(x, y, z)=e^{x y} \ln z, calcule f_{x}, f_{y} e f_{z}. Em seguida, avalie em (x, y, z)=(1,2, e).

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de
f(x,y,z)=e^{xy}\ln z
em relação a x, y e z, e depois a avaliação de cada uma em (x,y,z)=(1,2,e). O conteúdo aqui é diferenciação parcial e uso de regra do produto e regra da cadeia.

Passo 2

Para achar f_{x}=\frac{\partial f}{\partial x}, tratamos y e z como constantes. Note que f é produto de e^{xy} por \ln z, mas \ln z não depende de x. Logo, pela regra do produto e da cadeia:
f_{x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{xy}\bigr)\,\ln z =y\,e^{xy}\,\ln z.

Passo 3

Para achar f_{y}=\frac{\partial f}{\partial y}, tratamos x e z como constantes. De modo análogo:
f_{y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{xy}\bigr)\,\ln z =x\,e^{xy}\,\ln z.

Passo 4

Para achar f_{z}=\frac{\partial f}{\partial z}, agora x e y são constantes e temos e^{xy} multiplicando \ln z. A derivada de \ln z em relação a z é 1/z, então
f_{z} =e^{xy}\,\frac{1}{z} =\frac{e^{xy}}{z}.

Passo 5

Agora avaliamos cada derivada em (x,y,z)=(1,2,e). Observe que e^{xy}=e^{1\cdot2}=e^2 e \ln z=\ln e=1:
f_{x}(1,2,e) =2\,e^2\cdot1 =2e^2,
f_{y}(1,2,e) =1\,e^2\cdot1 =e^2,
f_{z}(1,2,e) =\frac{e^2}{e} =e.

Resposta

f_{x}(1,2,e)=2e^2 f_{y}(1,2,e)=e^2 f_{z}(1,2,e)=e

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