O gradiente de temperatura em um reator químico é modelado por:
T(x, y)=500-3 x^{2}-4 y^{2}
Determine o ponto de maior temperatura e a direção de resfriamento mais rápida.

Passo 1

O enunciado fornece a temperatura como função de duas variáveis
T(x,y)=500-3x^{2}-4y^{2}.
Queremos (1) o ponto onde T é máxima e (2) a direção de resfriamento mais rápida. Para isso vamos usar derivadas parciais, gradiente e Hessiana para identificar o máximo, e o fato de que a direção de maior decréscimo de uma função é -\nabla T.

Passo 2

Calculamos o gradiente de T:
\nabla T(x,y) =\Bigl(\tfrac{\partial T}{\partial x},\,\tfrac{\partial T}{\partial y}\Bigr) =(-6x,\,-8y).

Passo 3

Procuramos pontos críticos resolvendo
\nabla T(x,y)=(0,0) \;\Longrightarrow\; -6x=0,\;-8y=0 \;\Longrightarrow\; (x,y)=(0,0).
Para classificar, montamos a Hessiana
H=\begin{pmatrix} \frac{\partial^2T}{\partial x^2}&\frac{\partial^2T}{\partial x\partial y}\\[6pt] \frac{\partial^2T}{\partial y\partial x}&\frac{\partial^2T}{\partial y^2} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-6&0\\\ 0&-8\end{pmatrix},
que é definida negativa, indicando que (0,0) é um máximo local — e, por se tratar de um polinômio quadrático com coeficientes negativos, também o máximo global.]

Passo 4

A direção de resfriamento mais rápida num ponto genérico (x,y) é a direção de maior decréscimo de T, ou seja, o vetor
-\nabla T=(6x,\,8y).
O versor nessa direção é
\mathbf{u} =\frac{-\nabla T}{\|\nabla T\|} =\frac{(6x,\,8y)}{\sqrt{36x^{2}+64y^{2}}}.

Resposta

O ponto de maior temperatura é (0,0).
A direção de resfriamento mais rápida em um ponto (x,y) é dada pelo versor
\mathbf{u}=\frac{(6x,\,8y)}{\sqrt{36x^{2}+64y^{2}}}.

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