Considere f(x, y)=x^wed>= 2+x y-9 x-3 y+18. Determine o ponto de sela de f.
Escolha uma opção:
C. (Nao existem pontos de sela)
a) (2,2)
b) (2,3)
d) (3,3)
e) (3,2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para a gente encontrar o ponto de sela da função f(x, y) = x^2 + xy - 9x - 3y + 18 . Isso envolve cálculo multivariável, especificamente encontrar pontos críticos e determinar se eles são pontos de sela. A gente vai precisar calcular as derivadas parciais da função, encontrar onde elas são iguais a zero e então usar o teste da segunda derivada para classificar o ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função f(x, y) em relação a x e y .
A derivada parcial de f em relação a x é:
fx = partial fpartial x = 2x + y - 9
A derivada parcial de f em relação a y é:
fy = partial fpartial y = x - 3

Passo 3

Agora, vamos achar os pontos críticos, que são os pontos onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero.
Então, temos o sistema:
2x + y - 9 = 0 x - 3 = 0
Da segunda equação, já temos x = 3 . Substituindo esse valor na primeira equação:
2(3) + y - 9 = 0 6 + y - 9 = 0 y = 3
Portanto, o ponto crítico é (3, 3) .

Passo 4

Agora, vamos usar o teste da segunda derivada para determinar se esse ponto é um ponto de sela, mínimo ou máximo.
Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
fxx = partial^2 fpartial x^2 = 2 fyy = partial^2 fpartial y^2 = 0 fxy = partial^2 fpartial x partial y = 1
Agora, calculamos o discriminante D :
D = fxx cdot fyy - (fxy)^2 = 2 cdot 0 - 1^2 = -1

Passo 5

Interpretando o resultado do discriminante D :
  • Se D > 0 e fxx > 0 , é um ponto de mínimo.
  • Se D > 0 e fxx < 0 , é um ponto de máximo.
  • Se D < 0 , é um ponto de sela.
  • Se D = 0 , o teste é inconclusivo.
No nosso caso, D = -1 < 0 , então o ponto (3, 3) é um ponto de sela.

Resposta

d) (3, 3)

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