Considere
. Determine o ponto de sela de
.
Escolha uma opção:
C. (Nao existem pontos de sela)
a)
b)
d)
e)
Escolha uma opção:
C. (Nao existem pontos de sela)
a)
b)
d)
e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para a gente encontrar o ponto de sela da função
. Isso envolve cálculo multivariável, especificamente encontrar pontos críticos e determinar se eles são pontos de sela. A gente vai precisar calcular as derivadas parciais da função, encontrar onde elas são iguais a zero e então usar o teste da segunda derivada para classificar o ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função
em relação a
e
.
A derivada parcial de
em relação a
é:
A derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos achar os pontos críticos, que são os pontos onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero.
Então, temos o sistema:
Da segunda equação, já temos
. Substituindo esse valor na primeira equação:
Portanto, o ponto crítico é
.
Passo 4
Agora, vamos usar o teste da segunda derivada para determinar se esse ponto é um ponto de sela, mínimo ou máximo.
Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
Agora, calculamos o discriminante
:
Passo 5
Interpretando o resultado do discriminante
:
- Se
e , é um ponto de mínimo. - Se
e , é um ponto de máximo. - Se
, é um ponto de sela. - Se
, o teste é inconclusivo.
No nosso caso,
, então o ponto
é um ponto de sela.
Resposta
d)