Resolvam as Equações não homogêneas, utilizando o Método dos Coeficientes Indeterminados.
y^prime prime-2 y^prime-3 y=-3 x e^-x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 2y' - 3y = -3x e^-x
usando o método dos coeficientes indeterminados. Vamos precisar (1) encontrar a solução geral da equação homogênea associada e (2) propor um ansatz para a solução particular, levando em conta a presença de e^-x e de um polinômio em x.

Passo 2

Primeiro encontramos a solução da parte homogênea
y'' - 2y' - 3y = 0
A equação característica é
r^2 - 2r - 3 = 0
cuja solução dá
r = 3 ou r = -1
Portanto a solução geral da homogênea é
yc = C1 e^3x + C2 e^-x

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular yp para
y'' - 2y' - 3y = -3x e^-x
Como o termo não homogêneo é um polinômio de grau 1 em x vezes e^-x, o ansatz inicial seria
(Ax + B)e^-x
Porém r = -1 é raiz simples da característica, então multiplicamos por x. Assim escolhemos
yp = (A x^2 + Bx)e^-x

Passo 4

Calculamos as derivadas de yp:
yp = (A x^2 + Bx)e^-x,
yp' = l(2Ax + B - (A x^2 + Bx)r)e^-x = l(-A x^2 + (2A - B)x + Br)e^-x,
yp'' = l(-2Ax + (2A - B) - l(-A x^2 + (2A - B)x + Br)r)e^-x = l(A x^2 - (4A - B)x + (2A - 2B)r)e^-x
Substituindo em y'' - 2y' - 3y, obtemos
(yp'' - 2yp' - 3yp) = l(-8A x + (2A - 4B)r)e^-x
Isso deve coincidir com -3x e^-x.

Passo 5

Igualando coeficientes de x e termo constante em
-8A x + (2A - 4B) = -3x + 0
vem
-8A = -3 Longrightarrow A = tfrac38,
2A - 4B = 0 Longrightarrow B = tfrac316
Logo
yp = l(tfrac38x^2 + tfrac316xr)e^-x

Passo 6

A solução geral da equação original é
y = yc + yp = C1 e^3x + C2 e^-x + l(tfrac38x^2 + tfrac316xr)e^-x

Resposta

y(x) = C1 e^3x + C2 e^-x + l(tfrac38x^2 + tfrac316xr)e^-x

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