Resolvam as Equações não homogêneas, utilizando o Método dos Coeficientes Indeterminados.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
usando o método dos coeficientes indeterminados. Vamos precisar (1) encontrar a solução geral da equação homogênea associada e (2) propor um ansatz para a solução particular, levando em conta a presença de
e de um polinômio em
.
Passo 2
Primeiro encontramos a solução da parte homogênea
A equação característica é
cuja solução dá
Portanto a solução geral da homogênea é
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular
para
Como o termo não homogêneo é um polinômio de grau 1 em
vezes
, o ansatz inicial seria
Porém
é raiz simples da característica, então multiplicamos por
. Assim escolhemos
Passo 4
Calculamos as derivadas de
:
Substituindo em
, obtemos
Isso deve coincidir com
.
Passo 5
Igualando coeficientes de
e termo constante em
vem
Logo
Passo 6
A solução geral da equação original é