1. Determine o retângulo de maior perímetro inscrito na elipse x^2a^2+y^2b^2=1.

Passo 1

O enunciado pede o retângulo de maior perímetro que cabe dentro da elipse
x^2a^2+y^2b^2=1
com lados paralelos aos eixos. O conteúdo é otimização com restrição; vamos usar a função perímetro e a equação da elipse para formular um problema em uma variável.

Passo 2

Sejam (x,y) as coordenadas do vértice do retângulo no primeiro quadrante. Então a base vale 2x, a altura vale 2y e o perímetro é
P=2,(2x+2y)=4,(x+y)
A restrição é
x^2a^2+y^2b^2=1

Passo 3

Da equação da elipse isolamos
y = braiz1-x^2a^2
e substituímos em P, obtendo a função de uma variável
P(x)=4l(x + braiz1-tfracx^2a^2r)
Para encontrar o máximo, calculamos P'(x) e igualamos a zero.

Passo 4

A derivada é
P'(x) =4l(1-b,xa^2raiz1-tfracx^2a^2r)
Impondo P'(x)=0 vem
1=b,xa^2raiz1-tfracx^2a^2 ;Longrightarrow; 1-x^2a^2=b^2x^2a^4 ;Longrightarrow; x^2=a^4a^2+b^2,
e analogamente
y^2=b^4a^2+b^2

Passo 5

Como x,y>0,
x=a^2raiza^2+b^2, y=b^2raiza^2+b^2
Logo os quatro vértices do retângulo ótimo são
l(pma^2raiza^2+b^2, pmb^2raiza^2+b^2r)
e o perímetro máximo é
Pmax =4l(x+yr) =4raiza^2+b^2

Resposta

O retângulo de maior perímetro inscrito na elipse x^2a^2+y^2b^2=1 tem vértices em
l(pmtfraca^2raiza^2+b^2, pmtfracb^2raiza^2+b^2r)
e perímetro máximo
4raiza^2+b^2

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