- Determine o retângulo de maior perímetro inscrito na elipse
.
Passo 1
O enunciado pede o retângulo de maior perímetro que cabe dentro da elipse
com lados paralelos aos eixos. O conteúdo é otimização com restrição; vamos usar a função perímetro e a equação da elipse para formular um problema em uma variável.
Passo 2
Sejam
as coordenadas do vértice do retângulo no primeiro quadrante. Então a base vale
, a altura vale
e o perímetro é
A restrição é
Passo 3
Da equação da elipse isolamos
e substituímos em
, obtendo a função de uma variável
Para encontrar o máximo, calculamos
e igualamos a zero.
Passo 4
A derivada é
Impondo
vem
e analogamente
Passo 5
Como
,
Logo os quatro vértices do retângulo ótimo são
e o perímetro máximo é
Resposta
O retângulo de maior perímetro inscrito na elipse
tem vértices em
e perímetro máximo