Considere as seguintes funções:
Em cada um dos itens abaixo faça o que se pede: Determine o domínio de
e
.
- Determine a imagem de
e
.
- Estime
e
.
Passo 1
Este exercício pede para a gente encontrar para cada função primeiro o domínio, depois a imagem (ou alcance) e por fim avaliar alguns pontos específicos. Vamos lidar com restrições de log, exponencial, raiz e denominador, usando as condições “argumento de \ln>0”, “radicando \ge0” e “denominador \neq0”.
Passo 2
Para f(x,y)=\ln(x+y-1), o domínio é o conjunto de (x,y) que torna o argumento do log positivo. Logo, x+y-1>0, isto é, x+y>1.
Passo 3
Para g(x,y)=e{x{2}-y}, não há restrição de domínio (exponencial está definida para todo real). Então o domínio é \mathbb{R}^2.
Passo 4
Para h(x,y)=\sqrt{36-9x{2}-4y{2}}, o domínio vem de 36-9x2-4y2\ge0, ou seja 9x2+4y2\le36.
Passo 5
Para i(x,y,z)=x^{2}\ln(x-y+z), a única restrição é o argumento do log positivo: x-y+z>0. Não há problema se x=0 (entra como x^2), então o domínio é { (x,y,z): x-y+z>0 }.
Passo 6
Para j(x,y,z)=1/\sqrt{x{2}+y{2}+z^{2}-1}, precisamos que o radicando seja >0 (para não zerar o denominador e estar definido): x2+y2+z^2-1>0.
Passo 7
A imagem de f vem de ln: como ln mapeia (0,+\infty) em (-\infty,+\infty), então Im(f)=\mathbb{R}.
Passo 8
A imagem de g vem de e^{…}: exp mapeia \mathbb{R} em (0,+\infty), logo Im(g)=(0,+\infty).
Passo 9
A imagem de h, que é raiz de algo em [0,36], varia de [0,\sqrt{36}]=[0,6].
Passo 10
Para i=x^2\ln(…), como x^2\ge0 e ln(…) pega todo \mathbb{R}, o produto alcança todo \mathbb{R}, ou seja Im(i)=\mathbb{R}.
Passo 11
Para j=1/\sqrt{…}, o denominador vai de (0,+\infty), então j varia em (0,+\infty).
Passo 12
Agora vamos calcular os valores pedidos:
Passo 13
Para f(1,1)=\ln(1+1-1)=\ln1=0 e f(e,1)=\ln(e+1-1)=\ln e=1.
Passo 14
Para g(2,4)=e{2{2}-4}=e{4-4}=e{0}=1.
Passo 15
Para h(1,2)=\sqrt{36-9\cdot1{2}-4\cdot2{2}}=\sqrt{36-9-16}=\sqrt{11}\approx3,316.
Passo 16
Para i(3,6,4)=3^{2}\ln(3-6+4)=9\ln1=9\times0=0.
Passo 17
Para j(1,3,-4)=1/\sqrt{1{2}+3{2}+(-4)^{2}-1}=1/\sqrt{1+9+16-1}=1/\sqrt{25}=1/5=0,2.
Resposta
Domínios:
D_f={(x,y):x+y>1}, D_g=\mathbb{R}^{2}, D_h={(x,y):9x{2}+4y{2}\le36}, D_i={(x,y,z):x-y+z>0}, D_j={(x,y,z):x{2}+y{2}+z^{2}>1}.
Imagens:
Im(f)=\mathbb{R}, Im(g)=(0,+\infty), Im(h)=[0,6], Im(i)=\mathbb{R}, Im(j)=(0,+\infty).
Valores:
f(1,1)=0, f(e,1)=1;
g(2,4)=1; h(1,2)=\sqrt{11}\approx3,316;
i(3,6,4)=0; j(1,3,-4)=0,2.
D_f={(x,y):x+y>1}, D_g=\mathbb{R}^{2}, D_h={(x,y):9x{2}+4y{2}\le36}, D_i={(x,y,z):x-y+z>0}, D_j={(x,y,z):x{2}+y{2}+z^{2}>1}.
Imagens:
Im(f)=\mathbb{R}, Im(g)=(0,+\infty), Im(h)=[0,6], Im(i)=\mathbb{R}, Im(j)=(0,+\infty).
Valores:
f(1,1)=0, f(e,1)=1;
g(2,4)=1; h(1,2)=\sqrt{11}\approx3,316;
i(3,6,4)=0; j(1,3,-4)=0,2.