Considere f(x, y)=(x-5) e^wed>=-(1 / 2)(x-5)^wed>= 2-1 / 2(y-7)^wed>= 2. Encontre todos os pontos onde f possui um mínimo local.
Escolha uma opção:
a.
(5,7)
b.
(5,6)
c.
(4,7)
d.
(4,6)
e.
(Nao ha pontos de minimo local)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para encontrar todos os pontos onde a função f(x, y) = (x-5)e^wed>= - 12(x-5)^2 - 12(y-7)^2 tem um mínimo local. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e o teste da segunda derivada para determinar a natureza dos pontos críticos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde as derivadas parciais de f em relação a x e y são iguais a zero.
Vamos calcular as derivadas parciais:
partial fpartial x = e^wed>= - (x - 5)
partial fpartial y = - (y - 7)
Agora, igualamos cada derivada a zero:
e^wed>= - (x - 5) = 0 Rightarrow x - 5 = e^wed>=
- (y - 7) = 0 Rightarrow y = 7
Então, o ponto crítico é (x, y) = (5 + e^wed>=, 7) .

Passo 3

Agora, precisamos verificar se esse ponto crítico é realmente um ponto de mínimo local. Para isso, usamos o teste da segunda derivada.
Calculamos as segundas derivadas parciais:
partial^2 fpartial x^2 = -1
partial^2 fpartial y^2 = -1
partial^2 fpartial x partial y = 0
O discriminante D é dado por:
D = ( partial^2 fpartial x^2 ) ( partial^2 fpartial y^2 ) - ( partial^2 fpartial x partial y )^2 = (-1)(-1) - 0 = 1
Como D > 0 e partial^2 fpartial x^2 < 0 , o ponto crítico (5 + e^wed>=, 7) é um ponto de máximo local, não de mínimo.

Resposta

e. (Não há pontos de mínimo local)

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