Questão 2: (2 pontos) Determine os extremos de
e classifique-os em máximo local, mínimo local ou ponto de sela.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão pede. A gente tem a função
e precisa descobrir onde ela tem os extremos - ou seja, onde ela atinge valores máximos ou mínimos locais, ou até mesmo pontos de sela. Para isso, vamos precisar usar cálculo de funções de várias variáveis, especificamente derivadas parciais e o teste da segunda derivada para classificar os pontos críticos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde as derivadas parciais da função em relação a
e
são iguais a zero.
Vamos calcular as derivadas parciais:
Agora, igualamos essas derivadas a zero:
Passo 3
Vamos resolver o sistema de equações para encontrar
e
.
Da equação (1):
Substituindo
na equação (2):
Então,
também.
Portanto, o ponto crítico é
.
Passo 4
Agora, vamos classificar esse ponto crítico usando o teste da segunda derivada. Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
Em seguida, calculamos o determinante da matriz Hessiana:
Agora, analisamos:
- Se
e , temos um máximo local. - Se
e , temos um mínimo local. - Se
, temos um ponto de sela.
No nosso caso,
e
. Então, o ponto crítico
é um máximo local.
Resposta
A função
tem um máximo local no ponto
.