Questão 2: (2 pontos) Determine os extremos de f(x, y)=-x^2-2 x y-3 y^2 e classifique-os em máximo local, mínimo local ou ponto de sela.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão pede. A gente tem a função f(x, y) = -x^2 - 2xy - 3y^2 e precisa descobrir onde ela tem os extremos - ou seja, onde ela atinge valores máximos ou mínimos locais, ou até mesmo pontos de sela. Para isso, vamos precisar usar cálculo de funções de várias variáveis, especificamente derivadas parciais e o teste da segunda derivada para classificar os pontos críticos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde as derivadas parciais da função em relação a x e y são iguais a zero.
Vamos calcular as derivadas parciais:
fx = partial fpartial x = -2x - 2y
fy = partial fpartial y = -2x - 6y
Agora, igualamos essas derivadas a zero:
-2x - 2y = 0 (1)
-2x - 6y = 0 (2)

Passo 3

Vamos resolver o sistema de equações para encontrar x e y .
Da equação (1):
-2x - 2y = 0 implies x = -y
Substituindo x = -y na equação (2):
-2(-y) - 6y = 0 implies 2y - 6y = 0 implies -4y = 0 implies y = 0
Então, x = 0 também.
Portanto, o ponto crítico é (0, 0) .

Passo 4

Agora, vamos classificar esse ponto crítico usando o teste da segunda derivada. Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
fxx = partial^2 fpartial x^2 = -2
fyy = partial^2 fpartial y^2 = -6
fxy = partial^2 fpartial x partial y = -2
Em seguida, calculamos o determinante da matriz Hessiana:
D = fxx cdot fyy - (fxy)^2 = (-2)(-6) - (-2)^2 = 12 - 4 = 8
Agora, analisamos:
  • Se D > 0 e fxx < 0 , temos um máximo local.
  • Se D > 0 e fxx > 0 , temos um mínimo local.
  • Se D < 0 , temos um ponto de sela.
No nosso caso, D = 8 > 0 e fxx = -2 < 0 . Então, o ponto crítico (0, 0) é um máximo local.

Resposta

A função f(x, y) = -x^2 - 2xy - 3y^2 tem um máximo local no ponto (0, 0) .

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