Os valores de máximo e de mínimo que assumem no conjunto são, respectivamente:
Escolha uma opção:
a.
b.
c.
d.
e.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os valores máximos e mínimos que a função pode assumir dentro do conjunto definido pela equação .
Para resolver isso, vamos usar o Método dos Multiplicadores de Lagrange, que é uma técnica de cálculo para encontrar os extremos de funções sujeitas a restrições. Além disso, vamos precisar entender um pouco sobre superfícies elipsoides, já que a equação dada representa uma delas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação da restrição de uma forma mais clara. A equação representa um elipsoide centrado na origem, com semi-eixos de comprimentos 3, 1 e 9 nas direções x, y e z, respectivamente.
Passo 3
Agora, aplicamos o método dos multiplicadores de Lagrange. A ideia é encontrar os pontos onde o gradiente da função é paralelo ao gradiente da restrição .
Então, estabelecemos as seguintes equações:
Isso nos dá:
Passo 4
Vamos resolver essas equações para encontrar x , y , z em termos de lambda :
Da primeira equação: lambda = 92x
Da segunda equação: lambda = 12y
Da terceira equação: lambda = 812z
Igualando as expressões para lambda :
92x = 12y = 812z
Isso simplifica para:
9x = 1y = 81z
Passo 5
Vamos chamar essa constante de k :
9x = 1y = 81z = k
Então, podemos expressar x , y , e z em termos de k :
x = 9k, y = 1k, z = 81k
Passo 6
Substituímos essas expressões na equação da restrição:
(9k)^29 + (1k)^2 + (81k)^281 = 1
Simplificando cada termo:
81k^2 cdot 9 + 1k^2 + 6561k^2 cdot 81 = 1
9k^2 + 1k^2 + 81k^2 = 1
Passo 7
Somando os termos:
9 + 1 + 81k^2 = 1 implies 91k^2 = 1
Então:
k^2 = 91 implies k = pm raiz91
Passo 8
Agora, substituímos k de volta para encontrar x , y , e z :
Para k = raiz91 :
x = 9raiz91, y = 1raiz91, z = 81raiz91
A soma ( f(x, y, z) = x + y + z = \frac{9 + 1 + 81}{\sqrt{91}} = \frac{91}{\sqrt{91}} = \sqrt{91}
]
Para k = -raiz91 :
x = -9raiz91, y = -1raiz91, z = -81raiz91
A soma
Resposta
Então, os valores máximo e mínimo que f(x, y, z) assume são raiz91 e -raiz91 , respectivamente.