Os valores de máximo e de mínimo que f(x, y, z)=x+y+z assumem no conjunto x^wed>= 2 / 9+y^wed>= 2+z^wed>= 2 / 81=1 são, respectivamente:
Escolha uma opção:
a.
(2 raiz 23,-2 raiz 23)
b.
(0,-raiz 91)
c.
(raiz 91,-raiz 91)
d.
(raiz 91,-2 raiz 23)
e.
(2 raiz 23, raiz 91)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os valores máximos e mínimos que a função f(x, y, z) = x + y + z pode assumir dentro do conjunto definido pela equação x^29 + y^2 + z^281 = 1 .
Para resolver isso, vamos usar o Método dos Multiplicadores de Lagrange, que é uma técnica de cálculo para encontrar os extremos de funções sujeitas a restrições. Além disso, vamos precisar entender um pouco sobre superfícies elipsoides, já que a equação dada representa uma delas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação da restrição de uma forma mais clara. A equação x^29 + y^2 + z^281 = 1 representa um elipsoide centrado na origem, com semi-eixos de comprimentos 3, 1 e 9 nas direções x, y e z, respectivamente.

Passo 3

Agora, aplicamos o método dos multiplicadores de Lagrange. A ideia é encontrar os pontos onde o gradiente da função f(x, y, z) é paralelo ao gradiente da restrição g(x, y, z) = x^29 + y^2 + z^281 - 1 .
Então, estabelecemos as seguintes equações:
nabla f = lambda nabla g
Isso nos dá:
1 = lambda cdot 2x9 1 = lambda cdot 2y 1 = lambda cdot 2z81

Passo 4

Vamos resolver essas equações para encontrar x , y , z em termos de lambda :
  1. Da primeira equação: lambda = 92x
  2. Da segunda equação: lambda = 12y
  3. Da terceira equação: lambda = 812z
Igualando as expressões para lambda :
92x = 12y = 812z
Isso simplifica para:
9x = 1y = 81z

Passo 5

Vamos chamar essa constante de k :
9x = 1y = 81z = k
Então, podemos expressar x , y , e z em termos de k :
x = 9k, y = 1k, z = 81k

Passo 6

Substituímos essas expressões na equação da restrição:
(9k)^29 + (1k)^2 + (81k)^281 = 1
Simplificando cada termo:
81k^2 cdot 9 + 1k^2 + 6561k^2 cdot 81 = 1
9k^2 + 1k^2 + 81k^2 = 1

Passo 7

Somando os termos:
9 + 1 + 81k^2 = 1 implies 91k^2 = 1
Então:
k^2 = 91 implies k = pm raiz91

Passo 8

Agora, substituímos k de volta para encontrar x , y , e z :
Para k = raiz91 :
x = 9raiz91, y = 1raiz91, z = 81raiz91
A soma ( f(x, y, z) = x + y + z = \frac{9 + 1 + 81}{\sqrt{91}} = \frac{91}{\sqrt{91}} = \sqrt{91}
]
Para k = -raiz91 :
x = -9raiz91, y = -1raiz91, z = -81raiz91
A soma

Resposta

Então, os valores máximo e mínimo que f(x, y, z) assume são raiz91 e -raiz91 , respectivamente.
Resposta correta:
c. (raiz91, -raiz91)

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