Considere
. Mostre que
possui infinitos pontos críticos e que em todos eles o determinante da Hessiana é nula. Em seguida mostre que todos esse pontos são mínimos globais.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no exercício! A gente tem a função $ f(x, y) = x^2 - 4xy + 4y^2 + 2 $ e precisa mostrar que ela tem infinitos pontos críticos. Além disso, vamos ver que o determinante da Hessiana nesses pontos é zero e, por fim, provar que todos esses pontos são mínimos globais. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo como derivadas parciais, pontos críticos, matriz Hessiana e análise de mínimos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde todas as derivadas parciais da função em relação a $ x $ e $ y $ são iguais a zero. Então, vamos calcular as derivadas parciais de $ f $.
A derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $ é:
E a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $ é:
Passo 3
Agora, vamos igualar essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Podemos simplificar a equação (2) dividindo todos os termos por 4:
Passo 4
Vamos resolver o sistema de equações formado por (1) e (2 simplificada):
A equação (1) é: $ 2x - 4y = 0 $ que pode ser simplificada para $ x = 2y $.
Substituindo $ x = 2y $ na equação (2 simplificada):
Isso significa que qualquer par $ (x, y) $ onde $ x = 2y $ é um ponto crítico. Como há infinitas soluções para essa equação (basta escolher qualquer valor para $ y $), concluímos que $ f $ tem infinitos pontos críticos ao longo da linha $ x = 2y $.
Passo 5
Agora, vamos analisar a Hessiana da função $ f $. A Hessiana é a matriz das segundas derivadas parciais e nos ajuda a entender a concavidade da função nos pontos críticos.
Vamos calcular as segundas derivadas:
Então, a matriz Hessiana é:
Passo 6
O determinante da Hessiana é dado por:
Então, o determinante da Hessiana é zero em todos os pontos críticos. Isso indica que o teste padrão para classificações de pontos críticos (usando o determinante da Hessiana) não é conclusivo, e precisamos analisar mais a fundo.
Passo 7
Para mostrar que todos esses pontos críticos são mínimos globais, vamos reescrever a função de uma forma que fique claro que ela é sempre maior ou igual a 2.
Observe que:
Podemos completar o quadrado:
Como o quadrado de qualquer número real é sempre não negativo, $ (x - 2y)^2 \geq 0 $. Portanto:
E a igualdade ocorre exatamente quando $ x - 2y = 0 $, ou seja, quando $ x = 2y $. Isso mostra que todos os pontos na linha $ x = 2y $ são mínimos globais da função $ f $.
Resposta
A função $ f(x, y) = x^2 - 4xy + 4y^2 + 2 $ tem infinitos pontos críticos ao longo da linha $ x = 2y $, o determinante da Hessiana nesses pontos é zero, e todos esses pontos são mínimos globais.