Considere f(x, y, z)=x^2 y z^3 e F(x, y, z)=(x z,-y^2, 2 x^2 y). Agora calcule
div(f F)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma função escalar $ f(x, y, z) = x^{2} y z^{3} $ e um campo vetorial $ F(x, y, z) = \left(x z,\ -y^{2},\ 2 x^{2} y\right) $. O que precisamos fazer é calcular a divergência do produto desses dois, ou seja, $ \operatorname{div}(f F) $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a definição de divergência e como ela se aplica quando multiplicamos uma função escalar por um campo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a divergência de um campo vetorial $ G = (G_1, G_2, G_3) $ é dada por:
G = (G1, G2, G3)
No nosso caso, queremos achar $ \operatorname{div}(f F) $. Para isso, vamos primeiro multiplicar a função $ f $ pelo campo vetorial $ F $:
div G = partial G1partial x + partial G2partial y + partial G3partial z
Substituindo $ f(x, y, z) $:
div(f F)
Simplificando cada componente:
f

Passo 3

Agora, aplicamos a definição de divergência no campo $ f F $:
f F
Vamos calcular cada derivada parcial separadamente:
div(f F) = partialpartial x(x^3 y z^4) + partialpartial y(-x^2 y^3 z^3) + partialpartial z(2 x^4 y^2 z^3)
partialpartial x(x^3 y z^4) = 3x^2 y z^4
partialpartial y(-x^2 y^3 z^3) = -3x^2 y^2 z^3

Passo 4

Agora, somamos todas as derivadas parciais que calculamos:
div(f F) = 3x^2 y z^4 - 3x^2 y^2 z^3 + 6x^4 y^2 z^2

Resposta

A divergência de $ f F $ é igual a $ 3x^{2} y z^{4} - 3x^{2} y^{2} z^{3} + 6x^{4} y^{2} z^{2} $.

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