Considere
e
. Agora calcule
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma função escalar $ f(x, y, z) = x^{2} y z^{3} $ e um campo vetorial $ F(x, y, z) = \left(x z,\ -y^{2},\ 2 x^{2} y\right) $. O que precisamos fazer é calcular a divergência do produto desses dois, ou seja, $ \operatorname{div}(f F) $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a definição de divergência e como ela se aplica quando multiplicamos uma função escalar por um campo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a divergência de um campo vetorial $ G = (G_1, G_2, G_3) $ é dada por:
No nosso caso, queremos achar $ \operatorname{div}(f F) $. Para isso, vamos primeiro multiplicar a função $ f $ pelo campo vetorial $ F $:
Substituindo $ f(x, y, z) $:
Simplificando cada componente:
Passo 3
Agora, aplicamos a definição de divergência no campo $ f F $:
Vamos calcular cada derivada parcial separadamente:
Passo 4
Agora, somamos todas as derivadas parciais que calculamos:
Resposta
A divergência de $ f F $ é igual a $ 3x^{2} y z^{4} - 3x^{2} y^{2} z^{3} + 6x^{4} y^{2} z^{2} $.