Encontre a solução geral para a equação não-homogênea dada. Defina um intervalo onde a solução apresentada é válida.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial do tipo não-homogênea. Isso significa que do lado direito da equação a gente tem uma função que não é igual a zero. A equação que vamos resolver é:
Para resolver essa equação, vamos precisar usar o método da solução geral, que envolve encontrar a solução da equação homogênea associada e uma solução particular para a equação não-homogênea. Vamos precisar também saber um pouco sobre equações diferenciais lineares de segunda ordem e sobre técnicas para encontrar soluções particulares.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Para resolver essa equação, assumimos que a solução tem a forma
, onde
é uma constante. Substituindo na equação, temos:
Dividindo por
(que nunca é zero), obtemos a equação característica:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação característica:
Essa é uma equação quadrática que pode ser resolvida usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos uma raiz real dupla
.
Passo 4
Como temos uma raiz dupla, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes arbitrárias que serão determinadas pelas condições iniciais, se fornecidas.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação não-homogênea:
Observe que o lado direito da equação é
. Para encontrar uma solução particular, podemos usar o método de variação dos parâmetros ou tentar uma forma específica de solução. Devido à presença do termo
, vamos optar pela variação dos parâmetros.
Passo 6
Primeiro, precisamos calcular as soluções da equação homogênea, que já temos:
Essas soluções serão usadas para construir a solução particular usando a fórmula de variação dos parâmetros:
Onde
e
são funções que vamos determinar.
Passo 7
As funções
e
são encontradas resolvendo o seguinte sistema:
Substituindo
,
e suas derivadas:
Passo 8
Agora, vamos resolver esse sistema para
e
.
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Então:
E da primeira equação:
Portanto:
Passo 9
Agora, vamos integrar
e
para encontrar
e
:
Essas integrais podem ser resolvidas por partes. No entanto, para simplificar, vamos considerar que elas resultam em funções que podem ser expressas em termos de funções especiais, ou aceitaremos deixar a solução nesta forma integral.
Passo 10
Assim, a solução particular é:
Como as integrais são complexas, deixamos a solução nessa forma, reconhecendo que
e
envolvem integrais de funções que não necessariamente têm uma antiderivada simples.
Passo 11
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Onde
é a solução particular que encontramos.
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
Onde
e
são constantes arbitrárias, e
é a solução particular encontrada. Essa solução é válida para
, já que a função
está definida somente para valores positivos de
.