Seja
. Apresente
-álgebras do espaço amostral
que possuem exatamente 2 , 4 e 8 elementos.
Passo 1
O enunciado pede para construirmos no espaço amostral
três
-álgebras com exatamente 2, 4 e 8 elementos. O conteúdo aqui é a definição de
-álgebra em um conjunto finito: um conjunto de subconjuntos de
que contém
e
, e é fechado por complementos e uniões (que, em espaço finito, equivale a estar fechado por complementos e uniões finitas).
Passo 2
Para ter uma
-álgebra com exatamente 2 elementos, basta tomar a menor possível, ou seja
Ela contém
e
e, por não haver outros conjuntos, já é fechada por complementos e uniões.
Passo 3
Para uma
-álgebra com 4 elementos, podemos gerar a
-álgebra a partir de uma partição não trivial de
, por exemplo a partição
. Então
Vale conferir que está fechada por complementos (
,
) e por uniões (as únicas uniões não-triviais entre os átomos já dão
).
Passo 4
Para uma
-álgebra com 8 elementos em um conjunto de 3 pontos basta tomar a coleção de todos os subconjuntos de
, ou seja, a sua família potência:
Como
, é de fato uma
-álgebra (fechada por complemento e união) com 8 elementos.
Resposta
Uma escolha possível é:
2 elementos:
4 elementos:
8 elementos: