Seja Omega=1,2,3. Apresente sigma-álgebras do espaço amostral Omega que possuem exatamente 2 , 4 e 8 elementos.

Passo 1

O enunciado pede para construirmos no espaço amostral Omega=1,2,3 três sigma-álgebras com exatamente 2, 4 e 8 elementos. O conteúdo aqui é a definição de sigma-álgebra em um conjunto finito: um conjunto de subconjuntos de Omega que contém emptyset e Omega, e é fechado por complementos e uniões (que, em espaço finito, equivale a estar fechado por complementos e uniões finitas).

Passo 2

Para ter uma sigma-álgebra com exatamente 2 elementos, basta tomar a menor possível, ou seja
F2 = emptyset,;Omega
Ela contém emptyset e Omega e, por não haver outros conjuntos, já é fechada por complementos e uniões.

Passo 3

Para uma sigma-álgebra com 4 elementos, podemos gerar a sigma-álgebra a partir de uma partição não trivial de Omega, por exemplo a partição 1,2,3. Então
F4 = emptyset,;1,;2,3,;Omega
Vale conferir que está fechada por complementos ( 1^c=2,3, 2,3^c=1) e por uniões (as únicas uniões não-triviais entre os átomos já dão 1cup2,3=Omega).

Passo 4

Para uma sigma-álgebra com 8 elementos em um conjunto de 3 pontos basta tomar a coleção de todos os subconjuntos de Omega, ou seja, a sua família potência:
F8 = P(Omega)
Como lvertP(Omega)rvert = 2^3 = 8, é de fato uma sigma-álgebra (fechada por complemento e união) com 8 elementos.

Resposta

Uma escolha possível é:
2 elementos:
emptyset,;Omega
4 elementos:
emptyset,;1,;2,3,;Omega
8 elementos:
P(Omega)

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