Considere a família de curvas: 10 x y+3 x^{2}-3 y^{2}=k, k \in R e respondas as seguintes questões:
Qual a EDO que gera essa família de soluções?
Qual é a EDO que gera a familia de soluções ortogonais à essa familia?
Qual é a família de soluções ortogonais à familia dada?
Passo 1
O enunciado dá a família de curvas de nível
10xy + 3x^2 - 3y^2 = k,\quad k\in\mathbb{R},
e pede (i) a EDO cuja solução geral é essa família, (ii) a EDO das trajetórias ortogonais e (iii) a própria família de ortogonais. Vamos usar diferenciação implícita para (i), trocar o coeficiente angular pela negativa do recíproco para (ii) e então resolver essa EDO para obter (iii).