Considere a família de curvas: 10 x y+3 x^{2}-3 y^{2}=k, k \in R e respondas as seguintes questões:
  • Qual a EDO que gera essa família de soluções?
  • Qual é a EDO que gera a familia de soluções ortogonais à essa familia?
  • Qual é a família de soluções ortogonais à familia dada?

Passo 1

O enunciado dá a família de curvas de nível
10xy + 3x^2 - 3y^2 = k,\quad k\in\mathbb{R},
e pede (i) a EDO cuja solução geral é essa família, (ii) a EDO das trajetórias ortogonais e (iii) a própria família de ortogonais. Vamos usar diferenciação implícita para (i), trocar o coeficiente angular pela negativa do recíproco para (ii) e então resolver essa EDO para obter (iii).

Passo 2

Diferenciando implicitamente
10xy + 3x^2 - 3y^2 = k
em relação a x
10y + 10x\frac{dy}{dx} + 6x - 6y\frac{dy}{dx} = 0.
Reagrupando os termos em \frac{dy}{dx}:
(10x - 6y)\frac{dy}{dx} + (10y + 6x)=0
logo
\frac{dy}{dx} = -\frac{10y + 6x}{10x - 6y} = -\frac{5y + 3x}{5x - 3y}.

Passo 3

Para as trajetórias ortogonais o coeficiente angular deve ser o negativo do recíproco, isto é,
\frac{dy}{dx}\Big|_{\text{ort}} = -\frac{1}{-\frac{5y+3x}{5x-3y}} = \frac{5x-3y}{5y+3x}.

Passo 4

Essa EDO é homogênea de grau zero em x,y. Faça y=ux, de modo que
\frac{dy}{dx} = u + x\frac{du}{dx}
e a EDO vira
u + x\frac{du}{dx} = \frac{5 - 3u}{5u + 3}.
Isolando du/dx e separando variáveis:
x\frac{du}{dx} = \frac{5 - 3u}{5u+3} - u = -\frac{5u^2 + 6u -5}{5u+3},
\frac{5u+3}{5u^2 +6u -5}\,du = -\frac{dx}{x}.
Observe que \frac{d}{du}(5u^2+6u-5)=10u+6=2(5u+3), então
\int \frac{5u+3}{5u^2+6u-5}\,du =\frac{1}{2}\ln\bigl|5u^2+6u-5\bigr| =-\int\frac{dx}{x} =-\ln|x|+C.
Logo
\ln\bigl|5u^2+6u-5\bigr| + 2\ln|x| = \text{const} \quad\Longrightarrow\quad 5u^2+6u-5 = \frac{C'}{x^2}.
Substituindo u=y/x e multiplicando por x^2, obtemos a família de ortogonais
5y^2 + 6xy -5x^2 = K,\quad K\in\mathbb{R}.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{dy}{dx} = -\frac{5y + 3x}{5x - 3y}.
(b) \displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{5x - 3y}{5y + 3x}.
(c) \displaystyle 5y^2 + 6xy - 5x^2 = K,\quad K\in\mathbb{R}.

Exercícios relacionados