Questão 4) (2 pontos) (FGV-1995) Seja o número complexo z=(x-2 i)^{2}, no qual x é um número real. Se o argumento principal de z é \frac{\pi}{2} rad então \frac{1}{z} é igual a:
a) 8 i
b) -8 i
c) 4 i
d) -1+4 i
e) 4 - i

Passo 1

O enunciado define
z = (x - 2\,i)^{2},
com x\in\mathbb{R}, e diz que o argumento principal de z é \tfrac{\pi}{2}. Nosso objetivo é encontrar \tfrac{1}{z}. O conteúdo envolve números complexos, cálculo de argumento e inversão de complexo.

Passo 2

Expandimos z em termos de x:
z = (x - 2\,i)^{2} = x^{2} - 4 + 2\cdot x\cdot(-2\,i) = (x^{2}-4)\;-\;4\,i\,x.
Logo
\Re(z)=x^{2}-4,\quad \Im(z)=-4x.

Passo 3

Para \Arg(z)=\tfrac{\pi}{2} temos \Re(z)=0 e \Im(z)>0. Assim
x^{2}-4=0\implies x=\pm2,
e
-4x>0\implies x<0\implies x=-2.
Substituindo em z
z = ( -2 - 2\,i )^{2} = 8\,i.

Passo 4

Calculamos
\frac{1}{z} = \frac{1}{8\,i} = -\,\frac{i}{8}.

Resposta

Não há alternativa correta entre as dadas.
O valor exato é -\tfrac{i}{8}.

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