Considere PVI, abaixo, e responda, justificando com cálculos, as questões:
P V I=\left\{\begin{array}{l} \frac{d y}{d x}=y^{2}-5 y+6 \\\ y(0)=2 \end{array}\right.
  • Qual a solução geral dessa EDO ?
  • A solução constante y=3 é solução dessa EDO?
  • O PVI satisfaz as condições do teorema de existência e unicidade?
  • Existe solução única? Qual é?

Passo 1

O enunciado dá o PVI
\frac{dy}{dx} = y^2 - 5y + 6,\qquad y(0)=2
Isto é uma EDO autônoma e separável. Vamos ( 1) obter a solução geral por separação de variáveis, ( 2) verificar soluções constantes, ( 3) checar as hipóteses do teorema de existência e unicidade e ( 4) determinar a solução única que satisfaz y(0)=2.

Passo 2

Separe variáveis:
\frac{dy}{(y-2)(y-3)} = dx.
Use frações parciais:
\frac{1}{(y-2)(y-3)} =\frac{1}{y-3}-\frac{1}{y-2}.
Integre ambos os lados:
\int\Bigl(\frac{1}{y-3}-\frac{1}{y-2}\Bigr)\,dy = \int 1\,dx \;\Longrightarrow\; \ln\biggl|\frac{y-3}{y-2}\biggr| = x + C.
Exponentiando:
\frac{y-3}{y-2} = C e^{\,x} \quad\Longrightarrow\quad y(x) = \frac{3 - 2C e^{\,x}}{1 - C e^{\,x}}
que é a forma explícita da solução geral.

Passo 3

Soluções constantes ocorrem quando dy/dx=0, ou seja
y^2 -5y +6 = 0 \;\Longrightarrow\; (y-2)(y-3)=0 \;\Longrightarrow\; y=2\quad\text{ou}\quad y=3.
Logo y=3 (e y=2) são soluções constantes da EDO.

Passo 4

Para o teorema de existência e unicidade precisamos que f(y)=y^2-5y+6 e \partial f/\partial y=2y-5 sejam contínuas numa vizinhança de y=2. Como são polinômios, são contínuos em todo \mathbb R, logo as condições são satisfeitas.

Passo 5

Como a condição inicial é y(0)=2, use x=0, y(0)=2 na solução geral:
\frac{2-3}{2-2} = C e^{0} \;\Longrightarrow\; \frac{-1}{0} = C,
isto implica C=0 no sentido de limite, e substituindo em \displaystyle y(x)=\frac{3-2C e^{x}}{1-C e^{x}} vemos que
y(x) = \frac{3-0}{1-0} = 3?
Mas esse cálculo falha porque usamos a forma geral que assume y\neq2. Como y(0)=2 coincide com a solução constante y\equiv2, concluímos que a única curva que passa por (0,2) é
y(x) = 2.
É a única solução do PVI.

Resposta

Solução geral:
\frac{y-3}{y-2}=Ce^{x},
ou equivalentemente
y(x)=\frac{3-2Ce^{x}}{1-Ce^{x}}.
A solução constante y=3 (e também y=2) satisfaz a EDO, mas só y\equiv2 atende y(0)=2.
O PVI satisfaz as hipóteses do teorema de existência e unicidade ( f e \partial f/\partial y contínuas).
Existe solução única do PVI e é
y(x)=2.

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