Suponha que um estudante, infectado com o vírus COVID19 - variante Delta, retorne a uma faculdade isolada no campus onde se encontram 1500 estudantes. Presumindo que a taxa no qual o vírus se espalha é proporcional não somente à quantidade de alunos infectados, mas também à quantidade de alunos não infectados, determine o número de alunos infectados após t dias, sabendo que depois de 3 dias 30 alunos estão infectados. Quantos alunos estarão infectados em 10 dias?

Passo 1

O enunciado descreve crescimento de infectados numa população fixa de 1500 alunos, com taxa de variação proporcional ao produto do número de infectados pela quantidade de não infectados. Isso é o modelo logístico. Vamos formular a EDO e precisar de duas condições: em t=0 1 aluno infectado (o estudante que voltou) e em t=3 30 infectados.

Passo 2

Escrevemos a equação logística
\frac{dI}{dt} = k\,I\,(1500 - I),
onde I(t) é o número de infectados e k é a constante de proporcionalidade. Para resolver, separamos variáveis:
\int \frac{dI}{I(1500-I)} = \int k\,dt.
Fazendo frações parciais usamos
\frac{1}{I(1500-I)}=\frac{1}{1500}\Bigl(\frac{1}{I}+\frac{1}{1500-I}\Bigr),
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\frac{1}{1500}\bigl(\ln I - \ln(1500-I)\bigr)=k\,t + C.

Passo 3

Isolando o quociente e exponenciando, obtemos
\ln\frac{I}{1500 - I} = 1500\,k\,t + C' \quad\Longrightarrow\quad \frac{I}{1500-I} = A\,e^{1500\,k\,t}.
Deste modo a solução geral é
I(t)=\frac{1500\,A\,e^{1500\,k\,t}}{1 + A\,e^{1500\,k\,t}} =\frac{1500}{1 + B\,e^{-1500\,k\,t}},
com B=1/A.

Passo 4

Usamos a condição inicial I(0)=1:
1 = \frac{1500}{1 + B} \quad\Longrightarrow\quad 1 + B = 1500 \quad\Longrightarrow\quad B = 1499.
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I(t)=\frac{1500}{1 + 1499\,e^{-1500\,k\,t}}.

Passo 5

Impondo I(3)=30 para achar k:
30 = \frac{1500}{1 + 1499\,e^{-1500\,k\cdot3}} \quad\Longrightarrow\quad 1 + 1499\,e^{-4500\,k} = \frac{1500}{30} = 50
1499\,e^{-4500\,k} = 49 \quad\Longrightarrow\quad e^{-4500\,k} = \frac{49}{1499} \quad\Longrightarrow\quad k = -\frac{1}{4500}\ln\!\Bigl(\frac{49}{1499}\Bigr).

Passo 6

Agora calculamos I(10):
I(10) = \frac{1500}{1 + 1499\,\exp\bigl(-1500\,k\cdot10\bigr)}.
Substituindo k\approx\frac{3,419}{4500}\approx0{,}00076
-1500\,k\cdot10 \approx -15000\cdot0{,}00076 \approx -11{,}40,
1499\,e^{-11{,}40}\approx1499\times1{,}12\times10^{-5}\approx0{,}0168 \quad\Longrightarrow\quad I(10)\approx\frac{1500}{1 + 0{,}0168}\approx1476{,}5.

Resposta

Em 10 dias haverá aproximadamente 1477 alunos infectados.

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