Suponha que um estudante, infectado com o vírus COVID19 - variante Delta, retorne a uma faculdade isolada no campus onde se encontram 1500 estudantes. Presumindo que a taxa no qual o vírus se espalha é proporcional não somente à quantidade de alunos infectados, mas também à quantidade de alunos não infectados, determine o número de alunos infectados após t dias, sabendo que depois de 3 dias 30 alunos estão infectados. Quantos alunos estarão infectados em 10 dias?
Passo 1
O enunciado descreve crescimento de infectados numa população fixa de
alunos, com taxa de variação proporcional ao produto do número de infectados pela quantidade de não infectados. Isso é o modelo logístico. Vamos formular a EDO e precisar de duas condições: em
há
aluno infectado (o estudante que voltou) e em
há
infectados.
Passo 2
Escrevemos a equação logística
onde
é o número de infectados e
é a constante de proporcionalidade. Para resolver, separamos variáveis:
Fazendo frações parciais usamos
logo
Passo 3
Isolando o quociente e exponenciando, obtemos
Deste modo a solução geral é
com
.
Passo 4
Usamos a condição inicial
:
Logo
Passo 5
Impondo
para achar
:
Passo 6
Agora calculamos
:
Substituindo
Resposta
Em
dias haverá aproximadamente
alunos infectados.