Questão 5) (1 ponto) (Vunesp-2001) Considere os números complexos z_{1}=2+i e z_{2}=x+2 i, onde i é a unidade imaginária e x é um número real. Determine:
a) o número complexo z_{1} \cdot z_{2} em função de x ;
b) os valores de x tais que \operatorname{Re}\left(z_{1} \cdot z_{2}\right) \leq \operatorname{Im}\left(z_{1} \cdot z_{2}\right), onde \operatorname{Re} denota a parte real e \operatorname{Im} denota a parte imaginária do número complexo.

Passo 1

O enunciado dá os números complexos \,z_{1}=2+i e \,z_{2}=x+2i, com x\in\mathbb{R}. Pede:
  • a) calcular o produto \,z_{1}\cdot z_{2} em função de x (álgebra de números complexos);
  • b) achar os x tais que \operatorname{Re}(z_{1}\cdot z_{2})\le\operatorname{Im}(z_{1}\cdot z_{2}) (resolver uma desigualdade linear).

Passo 2

Usamos a regra
(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i
para multiplicar:
z_{1}\cdot z_{2}=(2+i)(x+2i) =2x+4i+xi+2i^2.
Como i^2=-1, tem-se 2i^2=-2, então
z_{1}\cdot z_{2}=2x-2+(4+x)i.

Passo 3

Da expressão
z_{1}\cdot z_{2}=(2x-2)+(x+4)i
extraímos
\operatorname{Re}(z_{1}\cdot z_{2})=2x-2, \qquad \operatorname{Im}(z_{1}\cdot z_{2})=x+4.

Passo 4

Impondo
2x-2\le x+4
subtraímos x de ambos os lados e somamos 2: x\le6.

Resposta

a) \displaystyle z_{1}\cdot z_{2}=(2x-2)+(x+4)i.
b) \displaystyle x\le6.

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