Dado (
) um espaço de probabilidade e \mathcal{K} um conjunto de índices, mostre que
Subclasses
Fpara todo
e
são famílias independentes então
famílias independentes.
Subclasses
Passo 1
O enunciado diz que temos um espaço de probabilidade (Ω, F, P), um conjunto de índices K e para cada k∈K duas subclasses de eventos
. Sabe-se que a família
é independente e queremos mostrar que então a família
também é independente. Vamos usar a definição de independência de famílias de eventos.
Passo 2
Escolhe uma coleção finita de índices
e, para cada i, escolhe um evento
. Como
, cada
também pertence a
.
Pela independência da família
, temos a igualdade abaixo para esses eventos:
$$
P\Bigl(\bigcap_{i=1}^n A_{k_i}\Bigr)
\prod_{i=1}^n P\bigl(A_{k_i}\bigr).
$$
Passo 3
Essa relação vale para toda escolha finita de índices e eventos em
. Mas essa é justamente a definição de independência para a família
. Portanto concluímos que
é independente.
Resposta
A família
é independente.