Dado ( Omega, F, P ) um espaço de probabilidade e \mathcal{K} um conjunto de índices, mostre que
Subclasses Se Ak subset Bk subset Fpara todo k in K e Bkk in K são famílias independentes então Akk in K sãoã famílias independentes.

Passo 1

O enunciado diz que temos um espaço de probabilidade (Ω, F, P), um conjunto de índices K e para cada k∈K duas subclasses de eventos
AksubsetBksubset F. Sabe-se que a família Bkkin K é independente e queremos mostrar que então a família Akkin K também é independente. Vamos usar a definição de independência de famílias de eventos.

Passo 2

Escolhe uma coleção finita de índices k1,dots,knin K e, para cada i, escolhe um evento AkiinAki. Como AkisubsetBki, cada Aki também pertence a Bki.
Pela independência da família Bk, temos a igualdade abaixo para esses eventos:
$$
P\Bigl(\bigcap_{i=1}^n A_{k_i}\Bigr)

\prod_{i=1}^n P\bigl(A_{k_i}\bigr).
$$

Passo 3

Essa relação vale para toda escolha finita de índices e eventos em Aki. Mas essa é justamente a definição de independência para a família Ak. Portanto concluímos que Akkin K é independente.

Resposta

A família Akkin K é independente.

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