Dado ( Omega, F, P ) um espaço de probabilidade e \mathcal{K} um conjunto de índices, mostre que
Acréscimo Akk in K são famílias independentes se e somente se Ak cupOmegak in K são famílias independentes.

Passo 1

Temos um espaço de probabilidade (Omega, F, P) e um conjunto de índices K. Para cada kin K definimos duas famílias de eventos: a original Ak e a estendida Ak' = AkcupOmega. O objetivo é mostrar que as famílias Akkin K são independentes se e somente se as famílias estendidas Ak'kin K também são independentes. Vamos usar a definição de independência de famílias de eventos e a propriedade P(Omega)=1.

Passo 2

Recordando a definição: as famílias de eventos Akkin K são independentes se para qualquer seleção finita de índices distintos k1,dots,kn e quaisquer eventos Akiin Aki vale
Pl(capi=1^n Akir) ,=,prodi=1^n Pl(Akir)

Passo 3

Primeira direção ( Rightarrow): suponha que Ak seja independente. Tome qualquer escolha finita de índices k1,dots,kn e qualquer evento Aki'in Aki'. Se nenhum Aki' for Omega, então todos estão em Aki e a igualdade de probabilidades segue diretamente da independência original. Se algum Akj'=Omega, observe que
capi=1^n Aki' ,=,Omegacapl(capineq jAki'r) ,=,capineq jAki',
e como P(Omega)=1 temos
Pl(capi=1^n Aki'r) ,=, Pl(capineq jAki'r)
e
prodi=1^n P(Aki') ,=, P(Omega)cdotprodineq j P(Aki') ,=,1cdotprodineq j P(Aki')
Como os restantes estão em Aki, a independência original garante que essas probabilidades coincidem. Logo a família estendida é independente.

Passo 4

Segunda direção ( Leftarrow): suponha que Ak' seja independente. Mas cada evento em Ak também está em Ak'. Então, ao testar independência de Ak, basta escolher eventos em Ak (nenhum é Omega), e a igualdade de probabilidades já vale pela independência das estendidas. Portanto, Ak é independente.

Passo 5

Concluímos que adicionar Omega a cada família não altera a independência, pois usamos apenas que Omega não muda a interseção e tem probabilidade 1.

Resposta

As famílias Akkin K são independentes se e somente se as famílias AkcupOmegakin K são independentes.

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