Dado (
) um espaço de probabilidade e \mathcal{K} um conjunto de índices, mostre que
Acréscimo
são famílias independentes se e somente se
são famílias independentes.
Acréscimo
Passo 1
Temos um espaço de probabilidade
e um conjunto de índices
. Para cada
definimos duas famílias de eventos: a original
e a estendida
. O objetivo é mostrar que as famílias
são independentes se e somente se as famílias estendidas
também são independentes. Vamos usar a definição de independência de famílias de eventos e a propriedade
.
Passo 2
Recordando a definição: as famílias de eventos
são independentes se para qualquer seleção finita de índices distintos
e quaisquer eventos
vale
Passo 3
Primeira direção (
): suponha que
seja independente. Tome qualquer escolha finita de índices
e qualquer evento
. Se nenhum
for
, então todos estão em
e a igualdade de probabilidades segue diretamente da independência original. Se algum
, observe que
e como
temos
e
Como os restantes estão em
, a independência original garante que essas probabilidades coincidem. Logo a família estendida é independente.
Passo 4
Segunda direção (
): suponha que
seja independente. Mas cada evento em
também está em
. Então, ao testar independência de
, basta escolher eventos em
(nenhum é
), e a igualdade de probabilidades já vale pela independência das estendidas. Portanto,
é independente.
Passo 5
Concluímos que adicionar
a cada família não altera a independência, pois usamos apenas que
não muda a interseção e tem probabilidade 1.
Resposta
As famílias
são independentes se e somente se as famílias
são independentes.